八年级尖子生培优系列1-30汇总（4）
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
系列18
如图,AD是△ABC的中线,AE⊥AC,AF⊥AB,且AE=AC，AF=AB，求证：AD=1/2EF．
解析：遇“中线（点）”常用通法是“倍长中线（与中点相关的线段）”法，因此延长AD至G使AD=DG，如下图示：
不难证得△ACD≌△BDG（SAS），得到AC=BG=AE，∠C=∠GBD，如下图示：
进一步地得到：
可以证得∠ABG=∠EAF，又AC=AE=BG，AB=AF，从而△AEF≌△ABM（SAS），得到AM=EF，即可得到证明．
系列19
如图．∠C=90゜，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F
（1）求证：点F是ED的中点；
（2）求证：S△ABC=2S△BEF．
解析：
（1）如图示：
由“BE⊥AB且BE=AB”容易想到一个基本图形——与“900（直角）”相关的图形及相关结论，如下图示：
这是一个非常重要的图形，今后将经常遇到这个基本图形及其变式。本公众号已有多篇文章谈及这个基本图形，其中“适合三个年级上学期的尖子生培优系列（5）”作了较详细的说明.
因此，可过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，如下图示：
不难证得△ABC≌△BEG（AAS或ASA），所以BC=EG，又BD=BC，所以BD=EM.进一步地，又得到∴△EMF≌△DBF（AAS），如下图示：
所以EF=DF，因此点F是ED的中点；
（2）本小题较简单，不做详细解析。
由△ABC≌△BEM和△EMF≌△DBF可得：S△ABC=S△BEM，S△EMF=S△DBF，又因点F是ED的中点，所以S△BEF=S△DBF=0.5S△BEM=0.5S△ABC，因此S△ABC=2S△BEF．
拓展（变式）：
如图．∠C=90゜，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F.求证：点F是ED的中点.（试题内容与原题一样，图形改变）.
提示：与上述解法完全一样.
系列21
如图，已知，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，BE=CF，EF交BC于D，求：DE=DF.
解析：通过添加平行线将条件BE＝CF进行关联，同时构造两个三角形全等，是解题的关键。方法有两种：可以分别从与证明相关的线段所在的三角形入手添加平行线，构造全等。通常情况下，当“山穷水尽”时，经常添加“与试题条件、已知相关的平行线或垂线”就会“柳暗花明”.
进一步地，△DGE≌△DCF（AAS），如下图示，
拓展（变式）：
1.（改变点的位置）如图，已知，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，BE=CF，EF交BC于D，求：DE=DF.
2.（变换已知与结论1）如图，已知，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，DE=DF，EF交BC于D，求：BE=CF.
3.（变换已知与结论2）如图，已知， E、F分别为AB和AC延长线上的点，BE=CF， DE=DF，EF交BC于D，求：AB=AC.
（第2、3两题的图与原图相同）
提示：解法与原题解法类似.
系列22
如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC.
解析：与角平分线相关的常用思路（辅助线）有三种，同时本题又是“线段的和差倍分”（方法：“取长补短”），因此自然有以下解法：
法一：延长AE交BC的延长线于E，如下图示：
由AD∥BC得∠ABC+∠BAD=1800，∠3＝∠4，由AE、BE分别平分∠BAD和∠ABC，得∠2＝∠3，且∠1+∠2=0.5(∠ABC+∠BAD)=900，所以∠AEB＝900（即BE⊥AF）且∠2＝∠4（得到BA＝BF）.如下图示：
即BE是等腰三角形ABF底边上的高，所以AE＝FE.
进一步地，
可得△ADE≌△FCE（AAS或ASA），得到AD＝CF.
所以AB＝AF＝BC+CF=BC+AD.….
当然也可这样添加辅助线（本质相同，不做详解）：
此法其实本质就是“补短”法.
法二：在AB上截取BH＝BC，连接EH（其实就是之前说明的“取长”法），如下图示：
通过全等，先证∠5＝∠C，
同时，通过全等不难证得BG＝BF，AG＝AH，DH＝CF，如下图示：
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