八年级尖子生培优系列1-30汇总（6）
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
（关注公众号后，输入对应数字(请阅读文章末尾的相关关键词和对应的内容)，有您需要的内容）
建议阅读：
初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
(打开文章有购买地址）
系列27
如图示，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，AD是BC边的中线，过C点作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，试判断∠ADC与∠BDE的大小关系.
解析：可充分利用图中的“双垂线”构造常见的全等三角形。同时由于∠ADC和∠BDE所处的位置无法直接得到两全等的三角形，所以必须将其中的一个角进行转化，本题可以将∠ADC和∠BDE之一分别转化。
法一：过B点作BG⊥BC交CE的延长线于G，如下图示：
法二：(简解)
系列28
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=∠FDC.
解析：本题较易，图解如下：
拓展（图形变式）：
（1）如下图示，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=∠FDC.
（2）如下图示，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上中线AM上的动点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=∠FDC.
（3）如上图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且∠EDB=∠FDC，求证：AE=AF.
（解法与原题类似）
系列29
在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：PM=PN.
解析：等腰直角三角形和中点想到“对称”和“中位线”定理，同时等腰直角三角形沿一直角边对称后还能得到另一等腰直角三角形，再由“三线合一”，又可得到中点（中线），因此可以有以下解法。
法一：如下图示，
不难得到：△ABB’和△CAC’是等腰直角三角形，进一步地，得到△ABC’≌△AB’ C，从而BC’=B’C；同时，由三角形的中位线定理，得NP＝0.5BC’，MP＝0.5B’C，如下图示：
所以MP＝NP.
法二：（简解）如下图示：
由“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得：DM＝0.5AB，由“中位线定理”可得：PQ＝0.5AB，所以PQ＝MD；同理NQ＝PD.同时∠1＝∠BAC＝∠2，∠BDM＝∠CQN＝900，所以∠PDM＝∠NQP.因此△PDM≌△NQP，….
拓展（变式）：
（1）在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：∠MPN＝900.
（2）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是边BC的中点，求证：△MPN是等腰直角三角形.
系列30
CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
解析：
（1）①不难证明△BCE≌△CAF
得到CE＝AF，BE＝CF，进一步，得到：BE＝CF；EF＝|BE﹣AF|.
详细答案如下：
解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．
②当满足条件“∠α+∠BCA=180°”时，如下图示，不难证明△BCE≌△CAF，下同，解法与①类似.
详细答案如下：
所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．
∵∠BCA=180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．
（2）如下图示，类似地，通过下列两阴影部分三角形全等，不难得到：EF=BE+AF.
答案如下：
猜想：EF=BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，
∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，
∴∠BCE=∠CAF，又∵BC=CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．
关注公众号后，输入下列关键词,可得到：
（如：要查找中考第一轮复习34课时，则：关注本公众号后，进入公众号，输入“11”（不包括双引号）即可得到获取资料的地址和密码）本公众号部分已设定的关键词如下：——今后将逐步更新关键词，大家可随时关注相关群和文章的通知。）
1——几何画板视频教程（622分钟）
2——精彩回顾（所有文章）
3——上学期培优系列汇总
4——中考复习（视频资源）
5——一个公式还原魔方
6——2017中考压轴分类
7——本人云课网站详细目录
8——2017年中考压轴解析
9——2017年中考填选压轴
13——顶尖中考数学微专题－说明与购书方法
14——《顶尖中考微专题》视频解析（1487分钟）
888——可得到快速搜索本公众号文章的技巧
djpyzt——顶尖培优专题系列丛书相关
fjzjkj——九下质检课件
zkyzx——中考专项训练—圆
cqxx——暑期超前学习目录
wwk——微微课的所有动画