九年级尖子生培优系列1-30汇总（4）

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建议阅读：

初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

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系列19

如图1，对于平面内小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．

（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=　　，d（∠xOy，B）=　　．

（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，在图2中画出点P运动所形成的图形．

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣1/2x²+mx+n经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A、D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A、D两点重合），求当d（∠xOD，Q）取最大值时点Q的坐标．

解析：

（1）如下图示，

      根据“点角距”的定义，显然d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．

（2）如下图示，

      “点动成线”，根据点的坐标和函数图象的定义，因此点P必在线段y=5－x（0≤x≤5）上运动.所以所求的答案如下图示：

（3）根据定义，过点Q作QF⊥x轴于F，QE⊥OD于E，延长FQ交OD于M，如下图示，

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系列20

已知二次函数y=1/2(x－h)²，当且仅当2＜x＜m时，y<x，求h及m的值.

解析：本题可结合图象分析，其中“当且仅当2＜x＜m时，y<x，”可以理解为“当2＜x＜m，函数y=1/2(x－h)²的图象在函数y=x的下方”，由此可画出相关的草图，下图示：

      题意知：抛物线y=1/2(x－h)²与直线y=x的两个交点坐标分别为（2，2）和(m，m)，分别将这两点坐标分别代入抛物线解析式中，可得：

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系列21

      已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y之间满足下列数量关系：

解析：由抛物线的对称性知，可以由表中找一对纵坐标相同的横坐标x的值(如当x=0或2时，y=0),得到抛物线的对称轴为直线为x=1.

(1)由对称轴为直线x=1知，当x=6时的函数值，与当x=－4时的函数值相同，所以应填：24.

（2）与x轴交点坐标，显然是纵坐标为0时对应的横坐标的值，所以应填：0和2；

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系列22

两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．在△EDC绕点C的旋转过程中，试确定FH和FG的关系，并证明.

解析：可先通过几种特殊情况下，找到相关结论和证法（从特殊到一般，常见几何证题思路）.

      先考虑几种特殊情况：

      不难得到：FH＝FG且FH⊥FG.

      下面对一般情况下，进行证明：

      如下图示，通过全等△ACD≌△BCE（SAS），不难证明AD＝BE，同时，有∠1＝∠2.

且

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系列23

如图，等边三角形ABC的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接MN，则在点M运动过程中，求线段MN长度的最小值.

解析：要求MN的最小值，无法直接求，所以必须将MN转化成其他线段，根据根据旋转的性质，不难得到旋转60⁰后，容易得到等边三角形，恰好MN是其边长，问题迎刃而解！强调：旋转60⁰易得到正三角形，旋转90⁰，易得到等腰直角三角形和45⁰的角，务必要熟练掌握.

答案：由旋转的性质知，BM=BN，

又∠MBN=60°，

∴△BMN为等边△．

∴MN=BM，

∵点M是CH所在直线上的一动点，

∴当BM⊥CH时，MN最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）．

又△ABC为等边三角形，

且AB=BC=CA=2，

∴当点M和点H重合时，MN最短，且有MN=BM=BH=0.5AB=1．

变式练习：

      连接NH，其他条件不变，求NH的长的最小值．

提示：连接AN，通过证明∠BAN＝∠BCH＝30⁰，得到N点必在经过A点与AB成30⁰的下方的直线上，再利用“垂线段最短”可得答案为：0.5.

系列24

如图，在等边三角形ABC中，AC＝6，点O在AC上，且AO＝2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60⁰得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？

解析：本题可直接通过两三角形全等得到解决，如下图示：

　　由于∠POD＝∠A＝∠C＝60⁰（“一线三等角”），根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角不难得到：∠1＝∠2. 同时OP＝OD，所以△AOP≌△COD，因此PA＝OC＝6－2＝4.

变式练习：若改为“AP＝x，O为AC边上的动点，其他条件不变，求OC（设为y）与AP（＝x）的函数关系“呢？

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