九年级尖子生培优系列1-30汇总（5）

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建议阅读：

初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

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系列25

如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，若点G′在AC上，连接CE′，求CE′+CG′的长.

解析：本题线条多，但因图中有三个正方形，因此有较多的相等线段和45⁰的角，而且DEFG绕点D顺时针旋转60°得到正方形DE′F′G′，因此可以通过这些特殊的角和线段，构造与CE′和CG′相关的全等图形（或等腰三角形）即可得到解决.

反思：在条件较多的情况下，快速提练最有用的条件是解题的关键！本题解法解法多种，但几乎均是围绕“直角”这个最关键的条件展开的.

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系列26

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110⁰，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60⁰得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α＝150⁰时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

解析：

（1）根据旋转不变性：∠OCD＝∠BCA＝60⁰，且CO＝CD，因此△COD是等边三角形.

（2）当α＝150⁰时，如下图示：

同样根据旋转不变性，可得到∠ADC＝∠BOC＝150⁰，同时由（1）知：∠CDO＝60⁰，所以∠1＝∠ADC－∠CDO＝150⁰-60⁰＝90⁰，因此△AOD为直角三角形.

（3）通过上述相关结论和旋转的性质，不难得到△AOD的三个角分别为（用含α的式子表示）.

显然，要分三种情况，当符合下列条件之一时，△AOD是等腰三角形.

①当∠1＝∠2即α－60⁰＝190⁰－α时，解得α＝125⁰；

②当∠1＝∠OAD即α－60⁰＝50⁰时，解得α＝110⁰；

①当∠2＝∠OAD即190⁰－α＝50⁰时，解得α＝140⁰.

综上所述，所求当α＝125⁰或110⁰或140⁰时，△AOD为等腰三角形.

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系列27

P是等边内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是      ．

解析：首先不难求得：∠APB＝100⁰，∠BPC＝120⁰，∠CPA＝140⁰.要求“PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比”，应该将这三个角转化到同一个三角形中，由于△ABC是正三角形（三边相等），已经具备了旋转的条件，因此可以将△APB或△BPC或△APC中的任意一个三角形进行旋转60⁰，使其一边与△ABC的一边重合.

      如：将△BPC进行旋转，旋转时，既可将△BPC绕B点逆时针方向旋转60⁰，也可绕C点顺时针方向旋转60⁰，如下图示：

      显然“PA、PB、PC的长为边的三角形”就是△PP’A，不难得到：∠AP’P=60⁰，∠APP’＝40⁰，从而∠PAP’＝180⁰－60⁰－40⁰＝80⁰.因此，所以的比为40：60：80＝2：3：4.

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系列28

已知：如图，△ABC中，∠BAC=120⁰，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.

解析：由于△BCD为等边三角形，所以可以通过旋转进行解决，方法多种，仅以一种方法详解，其他方法图解提示：

法一：将△ABC绕B点顺时针旋转60⁰，使C与D重合，得到△A’BD，连接AA’，如下图示：

      如下图示，不难得到△ABA’是等边三角形，得到∠3=∠1=60⁰，同时由旋转的性质，知∠2=∠BAC=120⁰，从而得到∠AA’D=180⁰，因此A、A’、D三点共线，因此∠BAD=∠3=60⁰.

(其实这6种解法，均属于同一种思路)

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系列29

已知：＝根号2，＝4，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧。

（1）如图，当∠=45°时，求及的长；

（2）当∠变化，且其它条件不变时，求的最大值.

反思：类似PD的最小值为2，得到：在旋转过程中，PD的取值为2≤PD≤6.

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例2：

已知：正方形ABCD，等腰直角三角形BEF，AD、BE交于点M，CD、BF交于点N，将△BEF绕点B旋转.

（1）如图1，若点M、N分别在AD，CD上（不与点A，D，C重合）时，写出线段AM、MN、NC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；

（2）如图2，若点M，N分别在AD，DC的延长线上时，判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应的结论并证明；

（3）若点M、N分别在AD、DC的反向延长线上时，请完成图3并判断（1）中的结论是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论不必证明）.

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