尖子生之路[七上系列]——有理数（11） ——数轴与绝对值、距离相关（1）
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尖子生之路[七上系列]——有理数（11）
——数轴与绝对值、距离相关（1）
【例】我们在《有理数》中学过：数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|．一般地，|a﹣b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离．
（1）|x﹣1|表示 ；
（2）数轴上是否存在数x，使|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣4|的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由；
（3）若|x﹣1|+|x﹣5|的值为8，求x的值．
【解析】（1）根据题目中所给的定义，可知：|x﹣1|表示数轴表示数x的点与表示数1的点的距离．（注意：要充分利用数轴来理解此结论，后面的各个小题的解答均建立在这个结论的理解的基础上，同时这个结论又是个非常重要的结论，对后续的学习起着非常大的作用，务必好好理解与体会！）
（2）根据（1）中的结论可知： |x﹣1|、|x﹣2|、|x﹣4|可转化为数轴上表示x的点到1、2和4的距离，结合数轴不难得到：当表示x的点落在2（即x=2）时，|x﹣1|、|x﹣2|、|x﹣4|的和最小，此时对应的距离分别为1、0和2．所以当x=2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣4|＝1+0+2＝3，即所求的最小值为3；
（3）根据（1）中的结论可知：“|x﹣1|+|x﹣5|的值为8”可“翻译”为数轴上表示x的点与表示1和5的距离和为8点，由于表示数1和5的点的距离为4，因此表示数x的点可能落在表示1的点左边且与表示1的点的距离为（8-4）/2＝2个单位（如下图示），或者落在表示5的点右边且与表示5点的距离为（8-4）/2＝2个单位，因此x=1-2=-1或x=5+2=7.
【反思】本题主要考查的是绝对值的几何意义（与距离相关），结合数轴数形结合思考是解题的关键．
【拓展延伸】
1．数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；
2.|x+1|+|x﹣2|取最小值是 ．
3.若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|的最小值．
【答案】
1.|x+1|；1或﹣3；
2.3．
3.当x=1008时有最小值，此时，
原式=1007+1006+1005+…
+2+1+0+1+2+…1006+1007
=1015056．
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