尖子生之路[七上系列]——有理数（13） ——数轴、绝对值与距离相关（3）
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尖子生之路[七上系列]——有理数（13）
——数轴、绝对值与距离相关（3）
【例】求|m﹣1|+|m﹣3|+|m+5|+|m+6|的最小值．
【解析】从绝对值的意义可知：求|m﹣1|+|m﹣3|+|m+5|+|m+6|的最小值就是求数轴上某点到1、2、-5、-6的距离和的最小值；根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，所以当点x在-6与2之间时，到-6和2距离和最小；当点在-5与1之间时，到-5和1距离和最小；所以x在-5与1之间时，算式|m﹣1|+|m﹣3|+|m+5|+|m+6|的值最小．具体过程如下：
【解】依题意，知：当﹣5≤m≤1时，|m﹣1|+|m﹣3|+|m+5|+|m+6|有最小值，
最小值=|3-(-6)|+|1-(-5)|=9+6=15．
【拓展延伸】求|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣1000|的最小值．
【解析】从绝对值的意义可知：求|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣1000|的最小值就是求数轴上某点到2、4、6、…、1000的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，所以当点x在2与1000之间时，到2和1000距离和最小；当点在4与998之间时，到4和998距离和最小；…，所以x在500与502之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣1000|的值最小．具体过程如下：
【解】依题意，得：当x在500与502之间时，所求的算式的最小值是：
(1000﹣2)+(998﹣4)+(996﹣6)+…+(502﹣500)=998+994+990+…+2=（998+2）×250÷2=1000×250÷2=125000
∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣1000|的最小值是125000．
【反思】利用绝对值的意义可得到：在数轴上，某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小．
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