尖子生之路[七上系列]——有理数（25） ——找规律与巧算

---

声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！

---

（关注公众号后，输入对应数字(请阅读文章末尾的相关关键词和对应的内容)，有您需要的内容）

---

建议阅读：

初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

(打开文章有购买地址）

尖子生之路[七上系列]——有理数（25）

——找规律与巧算

【例1】观察下列解题过程

计算：1+5+5²+5³+…+5²⁴+5²⁵

解：设S=1+5+5²+5³+…+5²⁴+5²⁵①

则5S=5+5²+5³+…+5²⁴+5²⁵+5²⁶②

②﹣①的：4S=5²⁶﹣1，∴S＝（5²⁶－1）/4．

你能用你学到的方法计算下面的题吗？

1+3+3²+3³+…+3⁹+3¹⁰．

【解】设S=1+3+3²+3³+…+3⁹+3^10……①，

　　　则3S=3+3²+3³+…+3¹⁰+3^11……②，

　　　②﹣①的：2S=3¹¹﹣1，

　　　∴S=（3¹¹－1）/2．

【例2】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+1）/2，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？

观察下面三个特殊的等式：

1×2=（1×2×3﹣0×1×2）/3；

2×3=（2×3×4﹣1×2×3）/3；

3×4=（3×4×5﹣2×3×4）/3；

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=（3×4×5）/3=20

读完这段材料，请你思考后回答：

（1）1×2+2×3+…+100×101=　　　；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=　　；

（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=　　．

【解】（1）原式=100×（100+1）×（100+2）/3=343400；

（2）原式=n（n+1）（n+2）/3；

（3）原式=n（n+1）（n+2）（n+3）/4．

【反思】进一步可得：n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-n(n+1)(n﹣1)]/3；

n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)﹣n(n-1)(n+1)(n+2)]/4．

---

关注公众号后，输入下列关键词,可得到：

---

（如：要查找中考第一轮复习34课时，则：关注本公众号后，进入公众号，输入“11”（不包括双引号）即可得到获取资料的地址和密码）本公众号部分已设定的关键词如下：——今后将逐步更新关键词，大家可随时关注相关群和文章的通知。）

1——几何画板视频教程（622分钟）
2——精彩回顾（所有文章）
3——上学期培优系列汇总
4——中考复习（视频资源）
5——一个公式还原魔方
6——2017中考压轴分类
7——本人云课网站详细目录
8——2017年中考压轴解析
9——2017年中考填选压轴
13——顶尖中考数学微专题－说明与购书方法
14——《顶尖中考微专题》视频解析（1487分钟）
888——可得到快速搜索本公众号文章的技巧

djpyzt——顶尖培优专题系列丛书相关

fjzjkj——九下质检课件

zkyzx——中考专项训练—圆

cqxx——暑期超前学习目录

wwk——微微课的所有动画