尖子生之路[七上系列]——期中复习（7） ——整式化简求值及相关问题（3）
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整式化简求值及相关问题（3）
【例1】对有理数a、b、c，在乘法运算中，满足①交换律：ab=ba②对加法的分配律：c（a+b）=ca+cb．现对a⊕b这种运算作如下定义，规定：a⊕b=a•b+a+b．
（1）计算：（﹣2）⊕3和3⊕（﹣2）的值，想一想：这种运算是否满足交换律？
（2）举例说明：这种运算对加法是否满足分配律？
【分析】（1）根据“新定义”规定，分别计算可得；
（2）分别计算出3⊕（﹣2+1）和3⊕（﹣2）+3⊕1的结果，再作出判断．
【解】（1）（-2）⊕3=（-2）×3-2+3=-5，
3⊕（﹣2）=3×（﹣2）+3﹣2=﹣5，
所以这种运算满足交换律；
（2）因为3⊕（-2+1）=3⊕（-1）
=3×（-1）+3-1=﹣1，
3⊕（﹣2）+3⊕1
=3×（-2）+3-2+3×1+3+1=2，
所以这种运算对加法不满足分配律．
【练习2】如果a，b是任意两个不等于零的数，定义Φ运算如下（其余符号意义如常）：aΦb=2a－b，那么[（1Φ2）Φ3]－[1Φ（2Φ3）]的值是 ．
【分析】严格按照新定义的规则进行运算.
【解】原式=[（2×1－2）Φ3]
－[1Φ（2×2－3）]
＝[0Φ3]－[1Φ1）]
＝（2×0－3）－（2×1－1）
＝－3－1＝－4.
【练习3】已知x，y为有理数，如果规定一种运算△，其意义是x△y=xy+（x+y）﹣1，试根据这种运算完成下列各题：
（1）求①1△2；②（1△4）△（﹣2）；
（2）任意选择两个有理数，分别代替x与y，并比较x△y和y△x两个运算的结果，你有何发现？
（3）根据以上方法，探索a△（b+c）与a△b+a△c的关系，并用等式把它们表示出来．【解】（1）①根据题中的新定义得：
1△2=2+3﹣1=4；
②根据题中的新定义得：
（1△4）△（﹣2）=8△（﹣2）
=﹣16+6﹣1=﹣11；
（2）x△y=xy+（x+y）﹣1，
y△x=xy+（x+y）﹣1，
则有x△y=y△x；
（3）a△（b+c）
=a（b+c）+（a+b+c）﹣1
=ab+ac+a+b+c﹣1，
a△b+a△c
=ab+a+b﹣1+ac+a+c﹣1
=ab+ac+2a+b+c﹣2，
则a△（b+c）=a△b+a△c﹣a+1．
【例2】符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，G（5）=9，…
（2）G（1/2）=2，G（1/3）=4，G（1/4）=6，G（1/5）=8，G（1/6）=10，…
利用以上规律计算：G（2018）－G（1/2018）－2017．
【分析】此题是一道新定义及找规律的试题，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，然后代入计算即可．
【解】G（2018）－G（1/2018）－2010
=（2018×2）－1－（2018－1）×2－2017
=2018×2－1－2018×2+2－2017
＝－2016．
【练习】规定[x]表示不超过x的最大整数，如[2.6]=2，[－3.14]=－4，
（1）[3.1]+[-5.6]－[-2.8]＝ ．
（2）若[x]=3，则x的取值范围是 ．
（3）若[x+5]=3，则x的取值范围是 ．
【解】（1）原式＝3+(－6)－(－3)
＝3－6+3＝0.
（2）∵[x]表示不超过x的最大整数，[x]=3，
∴x≥3且x＜4，即3≤x＜4．
（3）由[x+5]=3得
[x+5]=[x]+5=3，即[x]＝－2，
类似（2），可得－2≤x＜－3．
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