尖子生之路[八上系列]——《整式的乘除与因式分解（3） ——整式的乘法（3）——幂的运算性质与新定义

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整式的乘法（3）

——幂的运算性质与新定义

【例1】如果a^c=b，那么我们规定（a，b）=c，例如：因为2³=8，所以（2，8）=3．

（1）根据上述规定，填空：

（3，27）=　　，（4，64）=　　；

（2）记（3，5）=a，（3，6）=b，（3，30）=c．求证：a+b=c．

【分析】根据“新定义“和”同底数的幂的乘法“进行计算即可．

【解】（1）（3，27）=3，（4，16）=3．

（2）证明：∵（3，5）=a，

（3，6）=b，（3，30）=c，

∴3^a=5，3^b=6，3^c=30．

∴3^a×3^b=30．

∴3^a×3^b=3^c．

∴a+b=c．

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【拓展延伸】

1．如果a^c=b，则（a，b）=c．试证明等式 （3，3）+（3，5）=（3，15）成立．

【证明】设 （3，3）=m，（3，5）=n，

则3^m=3，3ⁿ=5，

所以3^m⋅3ⁿ=3^m+n=3×5=15．

则 （3，15）=m+n．

即 （3，3）+（3，5）=（3，15）．

2．利用第1题的结论，解下列问题：

（1）计算 （5，2）+（5，7）．

（2）证明：（2ⁿ，3ⁿ）=（2，3），对于任意自然数n都成立．

【分析】直接利用规定的定义进行运算．

【解】（1）设（5，2）=x，（5，7）=y，

则5^x=2，5^y=7．

∴5^x+y=5^x•5^y=14．

∴（5，14）=x+y．

∴（5，2）+（5，7）=（5，14），

（2）设（2ⁿ，3ⁿ）=x，

则（2ⁿ）^x=3ⁿ，即（2^x）ⁿ=3ⁿ

所以2^x=3，即（2，3）=x，

所以（2ⁿ，3ⁿ）=（2，3）．

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【例2】阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为aⁿ，如2×2×2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．

根据以上材料，解决下列问题：

（1）计算以下各对数的值：log₂4=　　，log₂16=　　，log₂64=　　；

（2）根据（1）中的计算结果，写出log₂4，log₂16，log₂64满足的关系式；

（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log_aM+log_aN=　　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；

（4）证明（3）中一般性结论的正确性．

【分析】根据定义（aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n），结合幂的运算性质即可．

【解】（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；

（2）由（1）得：log₂ 4+log₂ 16=log₂ 64；

（3）由（2）得：log_aM+log_aN=log_a MN；

（4）记log_aM=m，log_a N=n，

则M=a^m，N=aⁿ．

所以MN=a^m•aⁿ=a^m+n．

所以log_a MN=log_a a^m+n=m+n．

所以log_a M+log_a N=log_aMN．

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【拓展延伸】

我们规定：a⊗b=10^a×10^b，例如3⊗4=10³×10⁴=10⁷，请解决以下问题：（1）试求7⊗8的值．

（2）想一想（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等吗？请明理由．

【分析】直接利用“新定义”，结合幂的运算性质．

【解】（1）7⊗8=10⁷×10⁸=10¹⁵；

（2）（a+b）⊗c=10^a+b×10^c=10^a+b+c，

a⊗（b+c）=10^a×10 ^b+c=10^a+b+c，

∴（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等．

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