尖子生之路[九下系列]——反比例函数(5) ——反比例函数的图象与性质（2）
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反比例函数(5)
——反比例函数的图象与性质（2）
【例1】已知反比例函数y=k/x，其中k＞-2，且k≠0，1≤x≤2．
（1）若y随x的增大而增大，则k的取值范围是 ；
（2）若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值．
【分析】（1）根据图象结合反比例函数的性质即可得出k＜0，又因k>-2；
（2）分“增大而增大”或“增大而减小”两种情况讨论，根据”最大值与最小值的差是1”可得关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解】(1)∵y随x的增大而增大，∴k＜0，
∵k＞﹣2，且k≠0，∴﹣2＜k＜0．
(2)当﹣2＜k＜0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，
∴k/2-k=1，解得k=﹣2，
不合题意，舍去；
当k＞0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，
∴k/2-k=1，解得k=2．
综上所述， k的值为2．
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【例2】有这样一个问题：探究方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数．
小芳想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数，她想到了如下的几个方法：
方法1：方程x2+3x﹣1=0的根可以看作是抛物线y=x2+3x﹣1与直线y=0（即x轴）交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数．
方法2：将方程变形成x2=﹣3x+1，那么方程x2+3x﹣1=0的根也可以看作是抛物线y=x2与直线y=﹣3x+1交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数．
方法3：由于x≠0，将方程变形成x+3=，那么方程x2+3x﹣1=0的根也可以看作是直线y=x+3与双曲线y=交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x2+3x﹣1=0的实数根的个数．
她类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数进行了探究．
下面是小芳的探究过程，请补充完成：
（1）x=0 方程x3﹣x﹣2=0的根；（填”是”或”不是”）
（2）方程x3﹣x﹣2=0的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标；
（3）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（4）观察图象可得，方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数是 个．
【解析】（1）将x=0代入x3﹣x﹣2中，可知x=0不是方程x3﹣x﹣2=0的根；
（2）方程两边都除以x，可得x2﹣1=2/x（x≠0），因此方程x3﹣x﹣2=0的根可以看作是函数y=x2﹣1与函数y=2/x的图象交点的横坐标；
（3）用描点法，在同一坐标系中，画出函数y=x2﹣1与函数y=2/x的图象，如下图示：
（4）根据两函数图象交点的个数，即可找出方程解得个数．
通过观察图象知，函数y=x2﹣1与函数y=2/x的图象只有一个交点，所以方程x3﹣x﹣2=0的实数根的个数是1个．
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