尖子生之路[七上系列]——几何图形初步（2） ——几何图形（2）——立体图形的体积相关
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几何图形（2）
——立体图形的体积相关
【例1】现有底面半径为2厘米，高为20厘米的两根完全一样圆柱，将其中一根圆柱锻造成一根新的圆柱（体积不变），原来的圆柱比新圆柱的高多1/4；
（1）求新圆柱的底面积？
（2）将原来的圆柱放到一个底面长和宽分别为8厘米和6厘米的长方体的水箱里，原水箱里的水面高为9厘米，则放入圆柱后水面上升了多少厘米？
（3）在（2）的条件下，将新圆柱放入水箱，若新圆柱恰好被淹没，则原来的圆柱应提升多少厘米？（π取3）
【分析】（1）相等关系：新圆柱的体积＝原圆柱的体积，列方程求解；
（2）相等关系：原水箱中水的体积=(原底面积-圆柱的底面积)×(9+上升的高度)，列方程求解；
（3）相等关系：原水箱中水的体积=(原底面积-原圆柱的底面积)×(9+上升的高度)-新圆柱的体积，列方程求解．
【解】（1）设新圆柱的底面半径为rcm，
则新圆柱的高为20÷（1+1/4）=16，
则π×22×20=π×r2×16，r2=5，
所以新圆柱的底面积=πr2=5π（cm2）；
（2）设放入圆柱后水面上升了x厘米，
依题意，得：
8×6×9=(8×6-π×22)(9+x)，
x=3，
答：放入圆柱后水面上升了3厘米；
（3）设原来的圆柱应提升x厘米，
依题意，得：
8×6×9=(8×6-π×22)(9+x)-5π×16，
432=36（9+x）-240，
x=29/3，
答：则原来的圆柱应提升29/3厘米．
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【例2】如图是一个长为4cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图1、图2），会得到两个几何体，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留π）？
【分析】绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为6cm；绕宽旋转得到的圆柱底面半径为6cm，高为4cm．再根据“圆柱体的体积＝底面积（圆）×高”进行计算．
【解】如图1，绕长边旋转得到的圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，体积=π×32×4=36πcm3；如图2，绕短边旋转得到的圆柱底面半径为4cm，高为3cm，体积=π×42×3=48πcm3．因此绕短边旋转得到的圆柱体积大．
【练习1】本将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？
【解】绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4=36πcm3．
绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：π×42×3=48πcm3．
【练习2】我们曾学过圆柱的体积计算公式：V=sh=πR2h（R是圆柱底面半径，h为圆柱的高），现有长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？
【分析】圆柱的体积计算公式：V=Sh=πR2h，根据题目条件列出相关式子，再代入计算即可.（注意两个答案）
【解】π×22×1=π×4×1=4π（cm2），
或π×12×2=π×1×2=2π（cm2）．
答：得到的几何体的体积是4πcm2或2πcm2．
【例3】在直角三角形，两条直角边分别为6cm，8cm，斜边长为10cm，若分别以一边旋转一周.
（①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=，V圆锥=.）
（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是__________？
（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？
（3）如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？
【解析】
预备知识（常用，务必熟练！！！）：如下图示，根据三角形面积公式，可得：S△＝0.5×6×8＝0.5×10×h，解得h=4.8.
（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周，可得到，如下图示：
即得到两个圆锥形成的几何体.
（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体，如下图示：
（3）如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体分别如下图示：
不难得到：绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为（两圆锥面积和）：
绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为：
因此绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【反思】一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形，在计算相关量时（尤其是侧面积和体积相关的），关键要弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高．
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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）
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