尖子生之路[九下系列]——反比例函数(6) ——反比例函数的图象与性质（3）
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反比例函数(6)
——反比例函数的图象与性质（3）
【例题】已知：A（a，y1）,B（2a，y2）是反比例函数y＝k/x（k＞0）图象上的两点．
(1)比较y1与y2的大小关系；
(2)若A、B两点在一次函数y=4/3x+b第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S△OAB=8，求a的值；
(3)在(2)的条件下,如果3m=-4x+24,3n=32/x,求使得m＞n的x的取值范围．
【图文解析】
（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据函数的增减性及a的符号讨论y1与y2的大小；
根据图象，不难得到：当a＞0时，y1＞y2，当a＜0时，y1＜y2；
（2）如下图示：
∵A（a，y1）、B（2a，y2）在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，
∴AC=y1=k/2a，BD=y2=k/2a，∴y1=2y2．
又∵A（a，y1）、B（2a，y2）在一次函数y=﹣4/3a+b的图象上，
∴y1=﹣4/3a+b，y2=﹣8/3a+b，
∴﹣4/3a+b=2(﹣8/3a+b)，∴b=4a，
∵S△AOC+S梯形ACDB=S△AOB+S△BOD，
又∵S△AOC=S△BOD,∴S梯形ACDB=S△AOB,
∴a2=4，∵a＞0，∴a=2．
（3）由（2）得，一次函数的解析式为y=﹣4/3x+8，反比例函数的解析式为：y=32/(3x)，
A、B两点的横坐标分别为2、4，且m=﹣4/3x+8、n=32/(3x)，因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方时的横坐标的取值范围，如下图示，从图象可以看出2＜x＜4或x＜0．
【反思】综合运用了一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，用数形结合的方法求不等式的解集．
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【拓展】如图，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函数y=k/x（k＞0）与一次函数y=﹣4/3x+b图象上的两个不同的交点，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，若已知1≤a≤2，则求S△OAB的取值范围．
【解】依题意，得m=k/a，n=k/(2a)，得到A（a，k/a）、B（2a，k/(2a)），再将A、B两点坐标代入直线y=﹣4/3x+b中，得到：k/a=﹣4a/3+b，k/(2a) =﹣8a/3+b，两式相减，并整理，得：k=8a2/3.
当1≤a≤2时，S△OAB=2a2，随自变量的增大而增大，此时2≤S△OAB≤8．
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