反比例函数(7)——综合应用（1） ——尖子生之路[九下系列]
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反比例函数(7)——综合应用（1）
【例1】如图，点A是双曲线y=8/x在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，求这个函数的解析式.
【分析】函数的"灵魂"——点的坐标,尤其是图象上的动点,常见的思路是:"设"、"求"、"找".为此可设动点A为(t，8/t)，则B点坐标为(-t，-8/t)(点A与点B关于原点对称——反比例函数图象的重要性质），再想方设法用t表示出点C的坐标，然后再找出点C的横纵坐标间所满足的关系，即为点C所在的图象上运动时的函数解析式.另一方面，等腰直角三角形中，有"相等线段"和"直角"，若连接OC，又可得到等腰直角三角形，可充分利用“直角（900）”的常用思路（辅助线），同时由于在直角坐标系中，因此可添加下列辅助线：
不难证得：根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，进一步得到：AE＝OD＝8/t，CD＝OE＝t(当t>0)，从而得到C（－8/t，t），当t<0时，类似地，得到：C（－8/t，t），如下图示，
由于－8/t×t＝－8，所以点C在反比例函数y=－8/x的图象上.
(解答时,只需写一种情况,然后简单说明即可)
详细过程如下：
【解】如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=8/x的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
在△COD和△OAE中，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（t，8/t），
则OD=AE=8/t，CD=OE=t，
∴C（-8/t，t），
当t<0时，同样可以得到 C（-8/t，t）
∵－8/t×t＝－8，
∴点C在反比例函数y=﹣8/x图象上．
【反思】此类问题的常见解题思路是：设、求、找.本题充分利用900的角的特征，进行转化，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形全等．
【思考】如果将本题中的“等腰直角三角形”改为“等边三角形”呢？
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【练习】如图，点A（2，4）是双曲线y=k/x的一点，点C为x轴上的点，连接AC，以AC为直角边作等腰直角△ABC，使点B也落在双曲线y=k/x上，求点C的坐标.
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