整式的乘法（6）——多项式×多项式——整式的乘除与因式分解（6） ——尖子生之路[八上系列]
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整式的乘法（6）
——多项式×多项式
【例1】若（x2+px﹣1/3）（x2-3x+q）的积中不含x的一次项与x3的项，求p、q的值．
【分析】（1）先化简，再找出含x与x3的项，将令其系数等于0，求出p、q值，再代入求值．
【解答】
原式=x4+(p-3)x3+(q-3p-1/3)x2+(qp+1)x+q，
∵积中不含x项与x3项，
∴P﹣3=0，qp+1=0
∴p=3，q=﹣1/3，
【例2】若(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
求a4+a2+a0的值．
【分析】可分别用x=﹣1与x=1代入原等式，可得到两个等式，再将两式相加即可．
【解答】当x=1时，有：
1=a5+a4+a3+a2+a1+a0
………………①，
当x=-1时，有：
-243=-a5+a4-a3+a2-a1+a0
………………②，
①+②得：
-242=2（a4+a2+a0），
∴a4+a2+a0=﹣121；
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【例3】我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（18a+45b）长方形，那么x+y+z= ．
【解析】（1）在图2中，S正＝(a+b+c)2，
又S正＝各个矩形的面积之和
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）将a+b+c=11，ab+bc+ac=38直接代入（1）中得到的关系式，得：
112=a2+b2+c2+2×38，
移项，得：a2+b2+c2＝…＝45.
（3）显然拼成的长方形的面积为xa2+yb2+zab=（25a+7b）（18a+45b）.
根据多项式乘多项式法则求得：
（25a+7b）（18a+45b）
的结果为450a2+1251ab+315b2，
即xa2+yb2+zab=450a2+1251ab+315b2，
从而得到x=450，y=315，z=1251，
所以x+y+z=450+315+1251=2016．
【反思】整式的乘法法则运用，充分利用面积法列出等式．
【练习】如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张，如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要A、B、C类卡片各多少张？
【解答】因（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．所以需要A类1张，B类2张，C类3张．
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