整式的乘除与因式分解（9）——整式的乘除的巧算——尖子生之路[八上系列]
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整式的乘除与因式分解（9）
——整式的乘除的巧算
【例1】计算:(x+y-z)2(z-x-y)3-(z-x-y)(x+y-z)4.
【解析】直接计算显然难度大，但x+y-z与z-x-y的关系是互为相反数，若设x+y-z=A，则z-x-y=-A. 则原式就转化为关于A的整式乘法，计算量大在减小。详细过程如下：
解：设x+y-z=A，则z-x-y=-A．
原式=A2•(-A)3-(-A)•A4=-A5+A5=0．
【练习1】化简：
(a1+a2+…+an-1)(a2+a3+…+an-1+an)
－(a2+a3+…+an－1)(a1+a2+…+an).
【解析】同样直接计算难度大，观察原式，发现式子中的每一项较多部分相同，所以可设a2+a3+…+an－1＝m，则：
原式=(a1+m)(m+an)-m(m+a1+an)
＝a1m+a1an+m2+man-m2-a1m-man
＝a1an．
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【例2】式子(2x-1)5=(2x-1)(2x-1)(2x-1)(2x-1)(2x-1)（可化为五个相同的多项式相乘），按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：
a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
其中a5、a4、a3、a2、a1、a0为乘积展开式各项的系数，因此有：
(2x－1)5 =a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0．
（1）求a0与a5的值；
（2）求a0+a2+a4和a1+a3+a5的值．
【解析】
（1）根据所给材料和多项式乘以多项式的法则，不难得到：当x=0时，左边＝-1，右边＝a0，所以a0＝-1．又因为a5是x5的系数，因此a5＝25＝32．
（2）当x=1时，
（2-1）5=a5+a4+a3+a2+a1+a0
即a5+a4+a3+a2+a1+a0＝1……①
当x=-1时，
[2×(-1)-1]5=-a5+a4-a3+a2-a1+a0
即-a5+a4-a3+a2-a1+a0＝-243……②
①+②，得2(a0+a2+a4)=-242,
即a0+a2+a4＝-121.
①-②，得2(a1+a3+a5)= 244,
即a1+a3+a5＝122.
综上，a0+a2+a4＝-121
及 a1+a3+a5＝122.
【反思】重点要理解试题所给的信息，利用多项式的乘法法则和特殊值代入时所得到的各个系数的关系进行对比求得。
【练习】阅读下文，寻找规律，并解答问题：
已知x≠1，计算：
(1-x) (1+x)=1-x2
(1-x) (1+x+x2)=1-x3
(1-x) (1+x+x2+x3)=1-x4
(1-x) (1+x+x2+x3+x4)=1-x5
…
(1)观察上式猜想：
(1-x) (1+x+x2+x3+…+xn)=____；
(2)根据你的猜想计算：
①1+2+22+23+24+…+22014
②2+22+23+24+…+2n．
【解析】
(1)由式子的规律，不难出：
(1-x) (1+x+x2+x3+…+xn)
=1-xn+1
(2)①对比上式：1+2+22+23+24+…+22014，相当于”2”用“x”代替,由此得到启发，可将原式×(1-2),
即(1-2)（1+2+22+23+…+22014)
＝1-22015.
所以1+2+22+23+24+…+22014
＝(1-22015)÷(1﹣2)=22015﹣1．
②类似地上述分析，
2+22+23+24+…+2n
＝1+2+22+23+24+…+2n－1
＝-(1-2)×(1+2+22+23+…+2n)-1
＝-(1-2)×(1+2+22+23+…+2n)－1
＝-(1-2n+1)－1＝2n+1-2．
【反思】要认真观察发现所给式子的特点，善于利用阅读材料中所给的结论类似得到．
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