平行线分线段成比例定理的应用(1)——相似（3）——尖子生之路[九下系列]
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平行线分线段成比例定理的应用(1)
——相似（3）
【例1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：AE：EC＝AF：FE．
【分析】由于“DE∥BC，DF∥BE”，可直接利用平行线分线段成比例定理即可证明；
证明：∵DE∥BC，∴AE：EC＝AD：DB，
∵DF∥BE，∴AF：EF＝AD：DB，
∴AE：EC＝AF：EF．
【反思】平行——对应线段成比例．
【练习1】阅读与计算:
请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB/AC＝BD/CD．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
【解析】
（1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，由CE∥AD可得BD/CD＝BA/EA，∠2=∠ACE，∠1=∠E，又∠1=∠2，所以∠ACE=∠E，得到AE=AC，因此AB/AC＝BD/CD；
（2）如图3，由勾股定理，得AC=5，因AD平分∠BAC，所以AC/AB＝CD/BD（上述结论），即5/3＝CD/BD．得BD=3 BC/8=3/2．又由勾股定理，得AD=…=（3√5）/2，∴△ABD的周长=3/2+3+（3√5）/2＝（9+3√5）/2．
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【例2】已知：如图,E在线段AB上,AD和BC交于F点,AC∥EF∥BD,若AC＝a,BD＝b,EF＝c,求证:1/a+1/b=1/c.
【解析】由平行条件，可用平行线分线段成比例定理.
由EF∥AC，可得△BEF∽△BAC，进一步可得：c/a=n/(m+n)；
由EF∥BD，可得△BEF∽△BAC，进一步可得c/b=m/(m+n)；所以c/a +c/b =n/(m+n) +m/(m+n)＝(m+n)/( m+n)＝1.两边都除以c，得1/a+1/b=1/c.
【反思】综合运用了平行→相似→对应边的比相等，然后通过两式相加．类似等式的证明常用此法.
【练习2】如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M，N．若AB=4，CD=1，求MN的长.
【解析】此图可以看作是两个类似例题的图组合而成，因此可利用例题的思路解决.如下图示：
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