因式分解（3）——整式的乘除与因式分解（13）——尖子生之路[八上系列]
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因式分解（3）
——整式的乘除与因式分解（13）
【知识点小结】运用“平方差公式和完全平方公式”时，务必注意公式的结构特征.
【例题】把下列各式分解因式.
(1)25﹣16x2；
(2)m4﹣2m2+1；
(3)81a4﹣b4；
(4)2a3﹣4a2b+2ab2；
(5)(x2+4)2﹣16x2；
(6)(a2+1)2﹣4a2；
(7)4(a﹣b)2﹣16(a+b)2；
(8)(a﹣4b)(a+b)+3ab；
(9)a4﹣(2a﹣1)2；
(10)6xy2﹣9x2y﹣y3；
【解答】
(1) 25﹣16x2=52﹣(4x)2
=(5﹣4x)(5+4x)．
(2) m4﹣2m2+1
=(m2)2﹣2m2+1
=(m2﹣1)2
=[(m+1)(m﹣1)]2
=(m﹣1)2(m+1)2．
(3) 81a4﹣b4
=(9a2+b2)(9a2﹣b2)
=(9a2+b2)(3a+b)(3a﹣b)．
(4) 2a3﹣4a2b+2ab2
=2a(a2﹣2ab+b2)
=2a(a﹣b)2；
(5) (x2+4)2﹣16x2
=(x2+4+4x)(x2+4﹣4x)
=(x+2)2•(x﹣2)2．
(6) (a2+1)2﹣4a2
=(a2+1+2a)(a2+1-2a)
=(a+1)2(a﹣1)2．
(7) 4(a﹣b)2﹣16(a+b)2
=[2(a-b)+4(a+b)][2(a-b)-4(a+b)]
=-4(3a+b)(a+3b)；
(8) (a﹣4b)(a+b)+3ab
=a2﹣3ab﹣4b2+3ab
=a2﹣4b2=(a﹣2b)(a+2b)．
(9) a4﹣(2a﹣1)2
=(a2+2a﹣1)(a2﹣2a+1)
=(a2+2a﹣1)(a﹣1)2．
(10) 6xy2﹣9x2y﹣y3
= ﹣y(y2﹣6xy+9x2)
=﹣y(3x﹣y)2．
后面还有……，请继续哦！
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【练习1】将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
（3）（x+y）2+4（x﹣y）2﹣4（x2﹣y2）.
解：（1）x4+4y4
=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
=（x2+2y2）2﹣4x2y2，
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
=（x﹣a）2﹣（a+b）2，
=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
=（x+b）（x﹣2a﹣b）．
（3）原式=（x+y）2+[2（x﹣y）]2
﹣2×2（x﹣y）（x+y），
=[（x+y）﹣2（x﹣y）]2，
=（3y﹣x）2．
【练习2】把下列各式因式分解：
（1）（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
解：（1）设M=x+y.则原式=M(M-4)+4=M2-4M+4=(M-2)2，将M=x+y代入还原可得，原式=（x+y﹣2）2；
（2）原式=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1
=（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1
令N=a2﹣5a+4，
∵a为正整数，
∴N=（a﹣1）（a﹣4）=a2﹣5a+4也是整数，则原式=N（N+2）+1=N2+2N+1
=（N+1）2．
∵N为整数，
∴原式=（N+1）2即为整数的平方．
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