相似三角形的判定(1)——相似（5）——尖子生之路[九下系列]
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相似三角形的判定(1)
——相似（5）
【例1】如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有_____对.
【解析】如下图示：
理由如下：
∵∠DCE=∠ABE，∠CDE=∠BAE，
∴△CDE∽△BAE．
同理△AED∽△BEC．
∵∠P=∠P，∠CDB=∠BAC，
∴△PDB∽△PAC．
∵∠DCB+∠BCP=180°，
∠DCB+∠DAB=180°
∴∠BCP=∠DAB．
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAD．
∴共有4对．
【反思】圆的相关结论非常丰富，可用的定理多，易找到角相等.
【练习1】如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，若AD＝CD，则图中一定相似的三角形有_____对.
【解析】除了例2中的4对相似外，多了一个条件AD＝CD后，就多了4对相似，如下图示：
上面共有6对，还有下面两对：
后面还有……，请继续哦！
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【例2】如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形共有_____对.
【解析】由“△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形”可得∠B=∠C=∠FAG
=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°，又∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，因此有：△ADC∽△EDA∽△EAB（3对），以及△ABC≌△GAF，所以共有4对.如下图示：
【例3】已知：如图，∠ADE=∠ACD=
∠ABC，图中相似三角形共有（ ）．
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对．
【解析】根据“∠ADE=∠ABC”判定DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再利用“∠ADE=∠ACD及公共角A”可得△ADE∽△ACD，从而得到△ABC∽△ADE
∽△ACD，此时共有3对相似，又从“∠ACD=∠ABC及∠CDE=∠BCD(因DE∥BC)”可得△EDC∽△DCB，因此总共有4对相似，故答案应选D.
【反思】熟练掌握判定相似的几种方法是解题关系，特别注意几个三角形均相似(连着相似)的情况下，往往有多种答案.
【练习1】如图，平行四边形ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有_____对（全等除外）．
【解析】由“ABCD是平行四边形”可得AD∥BC，AB∥DC，因此可得到：△ADO∽△FBO，△ABO∽△EDO，△ADE∽
△FCE∽△FBA（3对），因此共有5对．
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