因式分解（5）——十字相乘法(补充)——整式的乘除与因式分解（15）——尖子生之路[八上系列]
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因式分解（5）
——十字相乘法(补充)
【知识点小结】"十字相乘法"能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的关于x,y的二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1•a2,把y2项系数c分解成两个因数c1,c2的积,即c=c1•c2,并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y).
【例题】把下列各式分解因式
（1）x2﹣2xy﹣8y2；
解：原式=（x﹣4y）（x+2y）.
如下图示，
（2）2x2+5x﹣7；
解：原式=（2x+7）（x﹣1）.
如下图示，
（3）6x2﹣17xy+12y2；
解：原式=（x﹣4y）（x+2y）.
如下图示，
（4）（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．
解：原式=（x﹣y+10）（x﹣y﹣5）．
如下图示，
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【练习】把下列各式因式分解：
（1）m2﹣mn﹣6n2；
（2）2x2+3x﹣20；
（3）4x2﹣4xy－15y2；
（4）（a﹣b）2+3（b﹣a）﹣10．
（5）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
（6）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
【答案】
（1）（m+2n）(m-3n)
（2）（x+4）（2x﹣5）．
（3）(2x+3y)(2x﹣5y）
（4）(a﹣b+2)(a﹣b－5)
（5）原式=(a2+a﹣2)(a2+a﹣6）
=(a+2)(a﹣1)(a+3) (a﹣2)．
（6）设x2﹣2x=y，则
原式=y(y+2)+1=y2+2y+1
=(y+1)2=(x2﹣2x+1)2
=(x﹣1)4．
【练习2】（有难度哦！）分解因式:
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）﹣90．
【分析】先把多项式x2+3x+2和4x2+8x+3因式分解，再重新组合，然后运用“整体”——换元法因式分解，同时注意分解彻底．
解：原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90
=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）﹣90．
设y=2x2+5x+2，则原式=y（y+1）﹣90
=y2+y﹣90=（y+10）（y﹣9）．
所以原式=（2x2+5x+12）（2x2+5x﹣7）
=（2x2+5x+12）（2x+7）（x﹣1）．
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