角的相关计算（6）——余角与补角（1） ——几何图形初步（12）——尖子生之路[七上系列]
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角的相关计算（6）
——余角与补角（1）
【例1】如图，∠AOB=∠DOC=90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．
（1）∠AOD和∠BOC是否互补？说明理由；
（2）射线OF是∠BOC的平分线吗？说明理由；
【分析】
【解】（1）∵∠AOD+∠BOC
=360°﹣∠AOB﹣∠DOC
=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠AOD和∠BOC互补．
（2）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE，
∵∠COF=180°-∠DOC-∠DOE=90°-∠DOE，
∠BOF=180°-∠AOB-∠AOE=90°-∠AOE，
∴∠COF=∠BOF，即OF是∠BOC的平分线．
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【练习1】如图，已知同一平面内∠AOB=90°，∠AOC=60°．
(1)问题发现：∠BOD的余角是哪个角？并求∠BOC的度数；
(2)拓展探究：若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数；
(3)类比延伸：在(2)条件下，如果将题目中的∠AOB=90°改为∠AOB=2∠β；∠AOC=60°改为∠AOC=2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE吗？若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由．
【解】（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，
∴∠BOD的余角是∠AOD．
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°．
（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=0.5∠BOC=75°，∠COE=0.5∠AOC=30°．
∴∠DOE的度数为∠COD﹣∠COE=45°；
（3）∵∠AOB=β°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=β+2α，
∵OD、OE平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=0.5∠BOC=β+α，∠COE=0.5∠AOC=α，
∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=β+α﹣α=β．
【练习2】已知∠AOC=40°，∠BOD=30°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M，O，N在同一条直线上，OP是∠COD的平分线．
（1）如图1，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP的余角的度数；
（2）在（1）的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图2所示，当旋转6s时，求∠DOP的度数．
【解】（1）∵∠AOC=40°，∠BOD=30°，∴∠COD=180°﹣40°﹣30°=110°．
∵OP是∠COD的平分线，∴∠DOP=0.5∠COD=55°．
∴∠BOP=85°．
∴∠BOP的余角的度数为5°；
（2）∠DOP的度数为49°，旋转6s时，∠MOA=3×6°=18°，∠NOB=5×6°=30°，∴∠COM=22°，∠DON=60°．
∴∠COD=180°﹣∠COM﹣∠DON=98°．
∵OP是∠COD的平分线，∴∠DOP=0.5∠COD=49°．
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