对顶角与邻补角（1）——相交线与平行线（1）——尖子生之路[七上系列]
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对顶角与邻补角（1）
——相交线与平行线（1）
【例1】我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．
【分析】分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．
【解法一】如图示．
2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3++…+(n-1)=n(n-1)/2个交点．
【解法二】——或许更好理解
选定n条直线中的任意一直线，则剩余的直线(n-1)条最多与此直线有(n-1)个交点，因共有n条直线，理论上应可以最多应有n(n-1)个交点，但按上述计算方法的每两条相交的交点个数时恰好均重复一次（因为两直线相交只有一个交点），因此最多共有n(n-1)/2个交点．
【延伸】下列相关问题同本例解法上相同．
（1）直线上如果有n个点，一共可构成多少条线段？
（2）在一个角的内部如果再画n条射线，这时图中共有多少个角？
【答案】
（1）直线上如果有n个点，一共可构成n(n-1)/2条线段；
（2）在一个角的内部如果再画n条射线，这时图中共有(n+1)(n+2)/2个角．
【例2】如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，
（1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；
（2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；
（3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．
【分析】
（1）若设∠DBE=α，则∠DBE的补角是180°﹣α，它的余角是90°﹣α，根据“∠DBE的补角是它的余角的3倍”列方程，求解；
（2）设∠ABG=x，则∠DBG=x-33°，依题意列方程求解；
（3）设∠ABF=∠CBF=β，则∠ABG=100°﹣β，∠DBG=180°﹣100°﹣β=80°﹣β，再根据角的和差定义列式即可求出．本例是“设而不求”的字母（元）在解题的应用，仔细体会．
【解】（1）设∠DBE=α，则∠DBE的补角是180°﹣α，它的余角是90°﹣α，依题意得
180°﹣α=3（90°﹣α），
解得α=45°，
∴∠DBE的度数为45°；
（2）设∠ABG=x，∠DBG= x-33°，
依题意，得x+(x-33°)＝135°，
解得x=84°．
∴∠ABG的度数为84°；
（3）∵射线BF平分∠ABC，
∴可设∠ABF=∠CBF=β，
又∵∠FBG=100°，
∴∠ABG=100°﹣β，
∠DBG=180°-100°-β=80°-β，
∴∠ABG﹣∠DBG
=(100°-β)-(80°-β)=20°，
即∠ABG和∠DBG的度数的差为20°．
【反思】“设而不求”的字母（元）在解题的应用，仔细体会．
【练习】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．
【解】（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=68°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=0.5∠BOD=34°，
∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°；
（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=0.5x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=0.5（180°﹣0.5x），
由题意，得0.5(180°-0.5x)-0.5x=30°．
解得x=80°，∴∠AOC=80°．
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