对顶角与邻补角（2）——相交线与平行线（2）——尖子生之路[七下系列]
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对顶角与邻补角（2）
——相交线与平行线（2）
【例题】如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=（2/3）∠EOC．
（1）求∠AOE的度数；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．
【解答】
（1）∵∠AOE=（2/3）∠EOC，
∴设∠AOE=2x，则∠EOC=3x．
∴∠AOC=5x，
∵∠AOC=∠BOD=75°，
∴5x=75°，解得x=15°．
则2x=30°．
∴∠AOE=30°；
（2）①当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；
∵∠AOE=30°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF=75°，
∵∠BOD=75°，
∴∠DOF=75°+75°=150°；
②若∠AOF=120°时，直接写出α的度数．
分两种情况：
当OF在∠BOC的内部时，如下图示：
∵∠AOF=120°，∠AOE=30°，
∴α=∠EOF=120°﹣30°=90°．
当OF在∠BOD的内部时，如下图示：
∴α=360°﹣∠AOF﹣∠AOE
=360°﹣120°﹣30°=210°．
综上所述，α的度数为90°或210°．
【反思】注意第（2）小题中的两种情况——分类讨论．
【练习】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【动画演示】
【解答】
（1）∵∠COE=60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC=30°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；
（2）①分两种情况：
当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，
即9t+30°﹣3t=45°，解得t=2.5；
当OF平分∠AOB时，AOF=45°，
即9t﹣150°﹣3t=45°，
解得t=32.5；
综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
【反思】注意分类讨论思想与方程思想在解题中的应用．
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