锐角三角函数的概念（3）——锐角三角函数（3）——尖子生之路[九下系列]
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锐角三角函数的概念（3）
——锐角三角函数（3）
【例题】学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=底边/腰＝BC/AB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为
A．1/2 B．1 C．√3/2 D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）已知sinα=3/5，其中α为锐角，试求sadα的值．
【分析】（1）因顶角为60°的等腰三角形为等边三角形，再根据正对的定义求解；
（2）不难想象出当顶角接近出0度和180度的两种特殊情况，分别得到等腰三角形底和腰的比，再进行分析即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
【解答】（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°=1/1=1．因此答案选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．因此答案为0＜sadA＜2．
（3）如下图，
在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=3/5．
在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k．根据勾股定理，得AD=AC=……=4k，
又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=3/5．
∴DH=ADsin∠A=12k/5，
AH=…＝16k/5（勾股定理）．
则在△CDH中，CH=AC﹣AH=4k/5，
CD=…＝（4√10）K /5．
所以在△ACD中，AD=AC=4k，CD=（4√10）K /5．由正对的定义可得：
sadA=CD/AD＝(√10) /5．
【反思】注意阅读理解新定义，再进行类比解答．
【练习1】请耐心阅读，然后解答后面的问题：
上周末，小明在书城随手翻阅一本高中数学参考书时，无意中看到了几个等式：
sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin63°，
sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101°．
一个猜想出现在他脑海里，回家后他马上用科学记算器进行验证，发现自己的猜想成立，并能推广到一般．其实这是大家将在高中学的一个三角函数知识．你是否和小明一样也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么：
①根据你的猜想填空：
sin37°cos48°+cos37°sin48°=____，
sinαcosβ+cosαsinβ=______．
②尽管75°角不是特殊角，请你用发现的规律巧算出sin75°的值．
【解】①根据题目信息，
sin37°cos48°+cos37°sin48°
=sin（37°+48°）=sin85°，
sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）；
②sin75°=sin（30°+45°）
=sin30°cos45°+cos30°sin45°
=…＝（√2+√6）/4．
【练习2】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°﹣α），
cosα=﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【解】（1）由题意得，
sin120°=sin（180°﹣120°）
=sin60°=(√3)/2，
cos120°=﹣cos（180°﹣120°）
=﹣cos60°=﹣1/2，
sin150°=sin（180°﹣150°）
=sin30°=1/2；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为1/2，-1/2，将1/2代入方程得：4×（1/2）2﹣m×1/2﹣1=0，解得m=0．经检验﹣1/2是方程4x2﹣1=0的根，∴m=0符合题意；
②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为(√3)/2，(√3)/2，不符合题意；
③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为1/2，(√3)/2，
将1/2代入方程得：4×（1/2）2﹣m×1/2﹣1=0，
解得：m=0，经检验，(√3)/2不是方程4x2﹣1=0的根．
综上所述，m=0，∠A=30°，∠B=120°．
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