垂线（1）——相交线与平行线（3）——尖子生之路[七下系列]
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垂线（1）
——相交线与平行线（3）
【例1】如图．SR⊥QR，QT⊥PQ，∠PQR=130°，写出图中互余和互补的两角，并求出∠SQT的度数．
【分析】根据垂直、互余和互补的定义解答．
【解】∵SR⊥QR，QT⊥PQ，∠PQR=130°，
∴∠PQS与∠SQT互余，∠RQT与∠SQT互余，
∠PQT与∠RQS互补，∠PQR与∠SQT互补，
∠SQT=∠PQT+∠RQS﹣∠PQR=90°+90°﹣130°=50°．
【反思】垂直——直角（注意几何语言）．
【练习】如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，OC平分∠AOF，∠EOF=56°，
（1）求∠BOD的度数；
（2）写出图中所有与∠BOE互余的角，它们分别是 ．
【解】（1）∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠EOF=56°，
∴∠COF=∠COE－∠EOF
＝90°﹣56°=34°，
∵OC平分∠AOF，
∴∠AOC=∠COF＝0.5∠AOF =34°，
∴∠BOD=∠AOC=34°；
（2）所有与∠BOE互余的角，分别是：∠COF，∠AOC，∠BOD．
【例2】如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，且OM平分∠NOC.若∠BOC=4∠NOB，求∠MON的度数．
【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”的条件，常设∠NOB=2x，∠BOC=8x（目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法——强烈建议），则有∠CON＝6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x，∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，求出x的值，进一步即可得∠MON的度数．
【解】设∠NOB=2x，∠BOC=8x，则∠CON=∠COB﹣∠BON=8x﹣2x=6x.
∵OM平分∠CON，
∴∠MON=0.5∠CON=3x．
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°．
∴∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，
解得x=180．
∴∠MON=3x=3×18°=54°．
即∠MON的度数为54°．
【反思】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规范，几何书写入门必须严格掌握.
【练习】
如图，已知AB、CD相交于点O，OB平分∠COE，OF⊥AB于O，
（1）若∠EOF=120°，求∠AOD的度数；
（2）若∠BOE=1/4∠EOF，求∠DOE的度数．
【解】（1）
∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°．
又∵∠EOF=120°，
∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°．
∵OB平分∠COE，
∴∠BOC=∠BOE=30°．
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠BOC=30°；
（2）设∠BOE＝x,则∠EOF=4x．
∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=4x－x=3x.
∵∠BOF=90°，
∴3x=90°，解得:x=30°．
∵OB平分∠COE，
∴∠COE=2∠BOE=2x=60°．
∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．
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