锐角三角函数的概念（4）——锐角三角函数（4）——尖子生之路[九下系列]

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锐角三角函数的概念（4）

——锐角三角函数（4）

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【例1】设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质（不难用锐角三角形函数的定义证明）：①tanθ=sinθ/cosθ；②cos²θ+sin²θ=1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ=(√6)/2，求值：

（1）tanθ+1/ tanθ；                      

（2）| cosθ－sinθ|．

【分析】（1）根据三角函数的两条基本性质先将tanθ化为正弦和余弦，通分计算后代入即可；

（2）先将所求的式子平方，展开后计算即可．

【解】（1）∵cosθ+sinθ=(√6)/2，

∴（cosθ+sinθ）²=（(√6)/2）²，

cos²θ+2cosθ•sinθ+sin²θ=3/2，

cosθ•sinθ=1/4，

∴tanθ+1/ tanθ

＝sinθ/ cosθ+ cosθ/sinθ

＝(cos²θ+sin²θ)/ (cosθ•sinθ)

（2）∵（cosθ﹣sinθ）²

=cos²θ﹣2cosθ•sinθ+sin²θ

=1﹣2×1/4=1/2，

∴cosθ﹣sinθ=±（√2）/2．

∴|cosθ﹣sinθ|=（√2）/2．

【拓展1】已知α为一锐角，sinα=4/5，求cosα，tanα．

【解】如下图示，

由sinα=a/c=4/5，设a=4x，c=5x，

则b=…=3x（勾股定理），

所以cosα=b/c=3/5，

tanα=a/b=4/3．

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