解直角三角形（1）——锐角三角函数（5）——尖子生之路[九下系列]
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解直角三角形（1）
——锐角三角函数（5）
【例】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD．
（2）若sinC=12/13，BC=34，求BD的长．
【分析】（1）直接根据锐角三角函数的定义，即可得证．
（2）可设AC=BD=x，由sinC=CD/AC＝12/13可列出方程即可求出x．
【解答】（1）依题意，得tanB=cos∠DAC．
∴AD/BD＝AD/AC．∴BD=AC；
（2）设AC=BD=x，
则CD=BC﹣BD=34﹣x．
∵sinC=12/13，∴CD/AC=12/13．
∴（34-x）/x=12/13．解得x=442/25．
【反思】解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
【拓展1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=5/13，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．
（1）求AD长；
（2）求∠ACD的正弦值．
【分析】（1）由题意知△BCD为等腰直角三角形，再根据三角函数的定义，求出AB的长，进而确定出AD的长；
（2）构造∠ACD所在的直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【解】（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴BC=BD=5，
∵sinA=5/13，∴AB=12，
∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；
（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=(7√2)/2，
则sin∠ACD=AE/AC＝(7√2)/26．
【拓展2】如图，在△ABC中，sinB=4/5，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．
【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为点D，构造直角三角形，再进行解直角三角形．
【解】过点A作AD⊥CB，垂足为点D，
∵sinB=4/5，∴cosB=3/5，
在Rt△ABD中，
BD=AB·cosB＝5×3/5＝3．
∵AB=AF AD⊥CB，
∴BF=2BD=6，
∵EF⊥CB AD⊥CB，
∴EF∥AD，∴DF/CF＝AE/EC，
∵AE：EC=3：5DF=BD=3，
∴CF=5，∴CD=8，
在Rt△ABD中，AD＝AB·sinB=5×4/5＝4，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得：
AC＝…＝4√5，
∴sinC=AD/AC=…＝√5/5．
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