分式方程（3）——分式（14）——尖子生之路[八上系列]

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分式方程（3）

——分式（14）

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【例题】关于x的方程x+1/x=c+1/c的解为x₁=c，x₂=1/c，解方程x﹣4/(x-3)=a-4/(a-3)．

【解】原方程可化为：

（x-3）﹣4/(x-3)=(a-3)-4/(a-3)

∵方程x+1/x=c+1/c的解为：

x₁=c，x₂=1/c，

∴x₁﹣3=a﹣3，x₂﹣3=1/(a-3)．，

∴x₁=a，x₂=(3a-8)/(a-3)．

【拓展1】阅读下列材料，关于x的方程：     x+1/x=c+1/c的解是x₁=c，x₂=1/c；

x﹣1/x=c﹣1/c（即x+(－1)/x=c+(－1)/c）的解是x₁=c，x₂=－1/c；

x+2/c=c+2/c的解是：x₁=c，x₂=2/c，….

（1）观察上述方程及其解的特征，直接写出关于x的方程x+m/x=c+m/c（m≠0）的解，并利用“方程的解”的概念进行验证；

（2）通过（1）的验证所获得的结论，你能解出关于x的方程：x+2/(x－1) =a+2/(a－1)的解吗？若能，请求出此方程的解；若不能，请说明理由．

【分析】（1）根据给出的方程的解的概念范例的结构特征，求出所求的方程的解．

（2）本题的方程与范例中的方程形式不一致，因此先将所求的方程进行变形．变成式子中的形式后再根据给出的规律进行求解．

【解】（1）x₁=c，x₂=m/c；

把x₁=c代入方程，得

左边=c+m/c，右边=c+ m/c，

∴左边=右边．

把x₂=m/c代入方程，得

左边=m/c+c，右边=c+m/c

∴左m/c=右m/c．

 ∴x₁=c，x₂=m/c是关于x的方程x+m/x=c+m/c的解．

（2）两边同时减1变形为:

x﹣1+2/(x－1) =a﹣1+2/(a－1)

∴x﹣1=a﹣1，x﹣1=2/(a－1)

∴x₁=a，x₂=1+2/(a－1)，

即x₂=(a+1)/(a－1)．

【反思】要注意结合范例中的方程与解的结构特征，运用其结论时，要确保所求方程与例子中的方程的结构形式一致才可．

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