平行线的判定（2）——相交线与平行线（8）——尖子生之路[七下系列]
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平行线的判定（2）
——相交线与平行线（8）
【例题】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF=∠F．∠GAF+∠AGF+∠F＝180°．求证：EF∥AD．
（人教版中的三角形内角和定理未学）
【分析】由“AD是△ABC的角平分线”，根据角平分线的定义，可得∠BAD=∠CAD，再由∠GAF+∠AGF+∠F＝180°和∠CAB+GAF＝180°（邻补角的定义），可得∠BAD+∠CAD=∠AGF+∠F，且∠AGF=∠F，即可得到∠CAD=∠F，所以EF∥AD．
【证明】∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAB+GAF＝180°（邻补角的定义），
∠GAF+∠AGF+∠F＝180°（已知）
∴∠BAD+∠CAD=∠AGF+∠F，
又∵∠AGF=∠F，
∴∠CAD=∠F，
∴EF∥AD．
【拓展1】如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作AB⊥ON交ON于点B，过C作CD⊥OM交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．且∠BAD+∠CDF+∠DCB+∠ABE＝360°．判断AE与CF是否平行，并说明理由．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定直接求解．
【解】AE∥CF，理由如下：
∵AB⊥ON，CD⊥OM，
∴∠ABE=∠CDF=90°，
∵∠BAD+∠CDF+∠DCB+∠ABE＝360°．
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线，
∴∠BAE＝0.5∠BAD，∠FCE＝0.5∠DCB．
∴∠BAE+∠FCE=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠FCE，
∴AE∥CF．
【拓展2】如图，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么∠BAF应为多少度时，才能使AB′∥BD？
【分析】根据折叠的性质得到∠B′AF=∠BAF，要使AB′∥BD，则需有∠B′AD=∠ADB=20°，得∠B′AB=20°+90°=110°，进一步即可求出∠BAF．
【解】∠BAF应为55度．理由如下：
∵∠ADB=20°，
∴要使AB′∥BD，需使∠B′AD=∠ADB=20°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠BAB′=∠B′AD +∠BAD ＝110°，
又由折叠可知∠BAF=∠B′AF，
∴∠BAF＝0.5∠BA B′= 55°．
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