解直角三角形（4）——锐角三角函数（7）——尖子生之路[九下系列]
声明:"初中数学延伸课堂"的所有文章,版权所有.欢迎并感谢朋友们分享和转发,但未经许可,不得在任何公共场合使用、开发及转载,违者必究！
解直角三角形（4）
——锐角三角函数（7）
【例题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，点D在BC边上，∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．
【分析】过D点作DE⊥AB，交AB于E点．得到含∠BAD的直角三角形，再通过计算DE，AE的长即可．由等腰直角三角形的性质结合解直角三角形的相关知识求解．
【解】过D点作DE⊥AB，交AB于E点，如下图示：
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=45°，DC=6，
∴∠DAC=45°，∴AC=DC=6，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinB=AC/AB＝3/5，
∴可设AC=3k，则AB=5k，
∴3k=6，∴k=2，∴AB=5k=10，
根据勾股定理，得BC=8，
∴BD=BC﹣DC=8﹣6=2．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
sinB=DE/BD＝DE/2＝3/5，
解得DE=6/5，
根据勾股定理，得BE=8/5，
∴AE=AB﹣BE=10﹣8/5=42/5，
∴tan∠BAD=DE/AE＝…＝1/7．
【拓展1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E是BC边的中点，AC=15，AB=16，cosA=3/5．求：线段DB的长及tan∠EDB的值．
【解】∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°．
在Rt△ACD中，由AC=15，cosA=3/5，
得AD＝AC×cosA=…＝9，
∴DB=AB﹣AD=16﹣9=7．
由勾股定理，得CD＝…＝12．
∴在Rt△CDB中，tanB=CD/DB=12/7．
∵E是Rt△CDB的斜边BC的中点，
∴ED=EB=0.5BC，∴∠EDB=∠B，
∴tan∠EDB＝tan∠B＝12/7．
【拓展2】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB＝4/5，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F．
（1）当tan∠BCD＝1/2时，求线段BF的长；
（2）当点F在边BC上时，设AD=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围；
（3）当BF＝5/4时，求线段AD的长．
【解】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，
AB=5，sin∠CAB＝4/5，
∴BC=4，AC=3，
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD．
∴tan∠CAF＝tan∠BCD＝1/2，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=3/2，BF=5/2．
（2）过点B作BG∥AC，交CD延长线于点G， 如下图示：
∴BG/AC＝BD/AD，即BG/3＝(5-x)/x①
在Rt△ACF与Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，
∴BG/BC=CF/AC，BG/4=(4-y)/3②
(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)
《图解精析中考数学压轴题》QQ群,
群号：333629230
购买地址（扫码进入微店购买）：
本人的其他书籍均可在这家微店(唯一授权)购买！
扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，
输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.
输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.
输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……
输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）
您的点赞是对我的鼓励和肯定，
您的分享和转发是我坚持的信心和动力！