2018年湖南湘潭第25题——几何压轴倒二（圆，角度问题）
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2018年湖南湘潭第25题
(2018·湘潭)如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是弧AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，
∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【图文解析】
【题干解读】
根据题干，我们可以得到AO=CO，因此若连接AC，则△AOC是等腰直角三角形，且△AOD是直角三角形，而点M可以在CO的左边或者右边。
【试题解析】
（1）①如图，当∠AOM=60°时，AO=MO，所以可证△AOM是等边三角形，由于AO⊥DO，因此此时点M是AD的中点，从而DM=AM=AO=10；
【拓展延伸】
如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：
①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD2=CE•AB．
其中正确结论的序号（ ）.
A．①④ B．①②④
B．①③④ D．③④
【答案】A.
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