2018年福州八上期末质量检查填空压轴——（最短路径问题）

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2018年福州八上期末质检填空压轴

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 (2018·福州)如图，△ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD、AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则△CEF的周长最小值是__________.

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【图文解析】

【题干解读】

      由”E,F分别是等边三角形ABD边AD、AB上的动点，并求△CEF的周长的最小值”可以想到将点C关于直线AD以及直线AB 分别进行对称.

【试题解析】

如图，因为∠ADC=∠ABC=90°，所以点C关于AD的对称点C₁和点C关于AB的对称点C₂分别在直线CD和直线BC上：

此时，△CEF的周长是CE+EF+FC=C₁E+EF+FC₂=C₁C₂，

连接AC交C₁C₂于点K，易证

△ADC≌△ABC，所以∠DAC=30°，CD=BD，因此AC垂直平分EF，

∠DCA=60°，AC=2CD，因为CC₁=2CD，所以CC₁=AC，因为

∠CDA=∠CKC₁=90°，∠C₁CA=

∠C₁CA，所以△C₁KC≌△ADC，所以CK=AD=3，因此C₁C₂=6.

【拓展延伸】

点C为∠AOB内一点．

（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；

  （2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．

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【答案】

（1）如图所示：

（2）△CDE的周长最小值为10，此时∠DCE的度数为120°．

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