阅读理解与新定义（3）——尖子生之路[中考复习系列]
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阅读理解与新定义（3）
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【拓展1】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．解下列各题：
（1）若点（p，q）在反比例函数y=2/x的图象上，判断关于x的方程px2+3x+q=0是否是倍根方程？
（2）若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，求方程ax2+bx+c=0的根．
【解】∵点（p，q）在y=2/x的图象上，
∴pq=2．得q=2/p．
∴原方程为px2+3x+2/P=0．
因式分解,得(x+1/p)(x+2/p)=0，
解得x1=-1/p，x2=-2/p．∴x2=2x1．
∴方程px2+3x+q=0是倍根方程；
④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，
∴设该方程的的两根为x1、x2，
且满足x1=2x2．
∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x=（x1+x2）/2＝（1+t+4-t）=5/2．∴x1+x2=5．
∴x2+2x2=5，解得x2=5/3，
进一步，得x1=10/3．
∴x1=10/3，x2=5/3．
【拓展2】阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；
（2）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【解】（1）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．
（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．
∵当x≥3时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于﹣7，
当﹣4＜x＜3，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，
∴﹣7＜|x﹣3|﹣|x+4|＜7，
∵当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，
∴|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．
所以a≥7．
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