寻找规律（1）——尖子生之路[中考复习系列]

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寻找规律（1）

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【例题】已知整数a₁，a₂，a₃，a₄，…满足下列条件：a₁=0，a₂=﹣|a₁+1|，a₃=﹣|a₂+2|，a₄=﹣|a₃+3|，…，依此类推，则a₂₀₁₉的值为________.

【解析】根据条件求出前几个数的值：a₁=0，a₂=﹣|a₁+1|=﹣|0+1|=﹣1，

a₃=﹣|a₂+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，

a₄=﹣|a₃+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，

a₅=﹣|a₄+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，…，

观察发现：

当n是奇数时，a_n=﹣（n-1）/2，

当n是偶数时，a_n=﹣n/2，

所以a₂₀₁₉=﹣（2019-1）/2＝-1009．

【反思】根据求出的前几个数，通过观察分析：需分n为奇数与偶数两种情况讨论．

【拓展1】设a_n为正整数n⁴的末位数，如a₁=1，a₂=6，a₃=1，a₄=6．则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇+a₂₀₁₈+a₂₀₁₉=　　．

【解析】通过计算，观察发现：正整数n⁴的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，连续十个数一次循环，且这些未位数和为1+6+1+6+5+6+1+6+1+0

=33，而2019÷10=201…9，33×202-0

=6666．得a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇+a₂₀₁₈

+a₂₀₁₉=6666．所以答案应为：6666．

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【拓展2】对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…10!的末尾数为　　．

【解析】根据n!=1×2×3×…×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、…、10!的数中都含有2与5的积，则5!、…、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．

【拓展3】定义：a是不为1的有理数，我们把1/（1-a）称为a的衍生数．如：2的衍生数是1/(1-2)=-1，﹣1的衍生数是1/[1-(-1)]=1/2，已知a₁=-1/3，a₂是a₁的衍生数，a₃是a₂的衍生数，a₄是a₃的衍生数，…，依此类推，则a₂₀₁₉=　　．

【解析】根据衍生数的定义，依次计算出a₂、a₃、a₄、a₅，即：a₁=-1/3，a₂=3/4，a₃=4，a₄=-1/3，…，发现：每3个数为一个循环，2019÷3=673，所以a₂₀₁₉=4．

【拓展4】已知：a_n=1/(n+1)²（n=1，2，3，…），记b₁=2（1﹣a₁），b₂=2（1﹣a₁）（1﹣a₂），…，b_n=2（1﹣a₁）（1﹣a₂）…（1﹣a_n）．请用含n的代数式表示b_n.

【解析】根据题意，可求得

b₁=2（1﹣a₁）=2×（1﹣1/4）=3/2=（1+2）/（1+1），

b₂=2（1﹣a₁）（1﹣a₂）=3/2×（1﹣1/9）=4/3=（2+2）/（2+1），

b₃=（3+2）/（3+1），…．

所以b_n=（n+2）/（n+1）．

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