数与式的计算与巧算（1）——尖子生之路[中考复习系列]

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数与式的计算与巧算（1）

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【拓展】若m²=n+2，n²=m+2（m≠n），求m³﹣2mn+n³的值．

【分析】由已知，得m²﹣n²=n﹣m，进一步，得m+n=﹣1，再利用m²=n+2，n²=m+2．进行降次，得m（n+2）﹣2mn+n（m+2），化简后，再把m+n=﹣1代入计算．

【解】∵m²=n+2，n²=m+2（m≠n），

∴m²﹣n²=n﹣m，

即(m+n)(m-n)=-(m-n)．

∵m≠n，∴m+n=﹣1．

∴原式=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）

     =mn+2m﹣2mn+mn+2n

    =2（m+n）=﹣2．

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【例2】已知a﹣b=b﹣c=3/5，a²+b²+c²=1，求ab+bc+ca的值．

【分析】先求出a﹣c的值，再利用完全平方公式求出（a﹣b），（b﹣c），（a﹣c）的平方和，然后代入数据计算即可求解．

【解】∵a﹣b=b﹣c=3/5，

∴（a﹣b）²=9/25，

（b﹣c）²=9/25，

a﹣c=6/5，

∴a²+b²﹣2ab=9/25，

b²+c²﹣2bc=9/25，

a²+c²﹣2ac=36/25，

∴2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ca)

=9/25+9/25+36/25

=54/25．

∴2﹣2（ab+bc+ca）=54/25，

∴1-（ab+bc+ca）=54/25．

∴ab+bc+ca=-4/50=-2/25．

【拓展】已知a=x/20+20，b= x/20+19，c= x/20+21，求代数式a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac的值．

【分析】已知条件中的三个式子均有中间变量x，三个式子均消去x，可得到a﹣b=1，a﹣c=﹣1，b﹣c=﹣2，用这三个式子表示出所求的代数式即可求值．

【解】法一:a²+b²+c²-ab-bc-ac

=a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)，

又由已知，得

a﹣b=(x/20+20)-(x/20+19)＝1，

同理得b-c=-2， c-a=1，

所以原式=a﹣2b+c

= x/20+20-2(x/20+19)+ x/20+21

=3．

法二：a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac

=0.5（2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ac）

=0.5 [（a²﹣2ab+b²）+（a²﹣2ac+c²）+（b²﹣2bc+c²）]

=0.5 [（a﹣b）²+（a﹣c）²+（b﹣c）²] 

=0.5×（1+1+4）=3．

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