根的判别式及应用——尖子生之路[中考复习系列]
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根的判别式及应用
——中考复习系列
【例1】已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+（a+b）x+c/4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根
D．有两个异号实数根
【分析】只需判断根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
【解】△=b2﹣4ac
=（a+b）2﹣4c×c/4
=（a+b）2﹣c2
∵a，b，c是△ABC三条边的长
∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，
即（a+b）2＞c2
∴△=（a+b）2﹣c2＞0．
故方程有两个不相等的实数根．
又∵两根的和是﹣(a+b)/c＜0，
两根的积是(c/4)/c=1/4＞0．
∴方程有两个不等的负实根．
故选C．
【拓展1】三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）．
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定根的情况
【分析】由勾股定理，得a2+c2=b2，再化简根的判别式，并判断判别式的符号．
【解】∵∠B=90°∴a2+c2=b2．
化简原方程为
（a+b）x2﹣2cx+b﹣a=0．
∴△=4c2﹣4（b2﹣a2）
=4c2﹣4c2=0.
∴方程有两个相等实数根．
故选：A．
【拓展2】如果关于x的方程x2﹣2（1﹣k）x+k2=0有实数根α、β，则a+β的取值范围是（ ）
A.α+β≥1 B.α+β≤1
C.α+β≥1/2 D.α+β≤1/2
【分析】依题意，得判别式△≥0，得k的取值范围，再利用根与系数的关系确定a+β的取值范围．
【解】∵a=1，b=﹣2（1﹣k），c=k2，
∴△= [-2（1-k）]2-4×1×k2≥0，
∴k≤1/2，
∵a+β=2（1﹣k）=2﹣2k，
而k≤1/2，∴α+β≥1．故选A．
【拓展3】若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，求x1（x2+x1）+x22的最小值．
【分析】由△=b2﹣4ac≥0，得m的取值范围，然后通过配方求最小值．
【解】依题意，得
△=4m2﹣4（m2+3m﹣2）
=8﹣12m≥0．
∴m≤2/3．
x1（x2+x1）+x22
=（x2+x1）2﹣x1x2
=（-2m）2-（m2+3m-2）
=3m2﹣3m+2
=3（m﹣1/2）2 +5/4．
∴当m=1/2时，有最小值5/4．
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【例2】 已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．
【图文解析】
显然当∠DEC＝90°时，矩形被分成的三个三角形相似。由此得AD:AE=BE:BC,即a:x=(b－x):a，整理，得x^2－bx+a^2=0,其判别式Δ＝b^2－4a^2=(b+2a)(b－2a)，因b+2a>0，所以只需讨论b－2a的符号。
不难得（1）当b>2a时，Δ＞0，符合条件的点E有两个点；（2）当b＝2a时，Δ＝0，符合条件的点E有一个点；（3）当b＜2a时，Δ＜0符合条件的点E不存在.
另：本题用“圆”的相关知识来解，也很方便：
【小结】利用方程根的情况（判别式Δ）来判断点的个数.
【拓展】如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求b/a的取值范围．
【图文解析】
设BF＝x，通过全等不难，得BE＝CF＝a－x，在RtΔBEF中，由勾股定理，得：
由于x的值是存在的，则上述关于x的二次方程有实数根，所以Δ≥0.
即
【反思】根据勾股定理，建立方程模型，巧妙利用根的判别式突破。
【例3】已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于1.5．
【解析】由a+b+c=0知，三个实数中至少有一个为正数，不妨设c＞0，则有b=－a－c，代入abc=1中，得：a(-a－c)c=1，即a(-a－c)=1/c，整理得：a^2+ac+1/c=0，因a为实数，所以关于a的一元二次方程a^2+ac+1/c=0有实数根．因此：
【反思】又一道通过建立方程模型，巧妙利用根的判别式突破。
下面再以一道朋友提供的压轴题解析，作为本文的结束.
【拓展】已知二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n.
（1）当m=t=0时，判断二次函数图象和x轴的交点个数.
（2）若n=t=3m，当x为何值时，函数有最值？
（3）是否存在实数m和t，使二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点，且n的最大值和最小值分别为9和3？若存在，求m和t的值；若不存在，请说明理由.
解析：
(1)只需将m=t=0代入原解析式，得到含有字母系数n的二次函数，再根据“Δ”的符号，判定图象与x轴的交点个数.答案如下：
将m=t=0代入，得
y=-(n/2)(x^2)+nx-n（n≠0）.
Δ＝……=－(n^2)，
又n≠0，得△＝－(n^2)＜0.
所以该二次函数图象和x轴的交点个数为0.
（2）类似（1），将n=t=3m代入，得到含有字母m的二次函数，再通过配方，即可得到答案。答案如下：
∵n=t=3m，∴y=－mx^2+3mx(由m－n≠0可得m≠0）.
配方，得y=－m(x－1.5)^2+2.25m.
∴当x=1.5时，函数有最值.（也可分m>0和m<0讨论）.
（3）务必审清题意，逐个条件分析，最后综合.
根据“二次函数y=0.5(m－n)x^2+nx+t－n与x轴有交点”可得Δ＝……=－(n^2)－4×0.5（m－n）×（t－n）＝－n＾2+2（m+t)n－2mt≥0，得到Δ为关于n的二次函数（因n的取值明确）.
“Δ为关于n的二次函数”这个结论是解题的关键（注意体会）！！！且Δ≥0.
根据“且n的最大值和最小值分别为9和3”及结合上述结论，可以得到：本题的题意相当于“当3≤n≤9时，Δ≥0（即关于n的函数Δ的值为非负数——相当于此时函数Δ的图象在n轴上或上方”）.
由此得到：分别当n=3或9时，关于n的函数值Δ＝0.所以：
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