平行线的判定和性质(1)——平行四边形（1）——尖子生之路[八下系列]
推荐阅读:（一本类似于字典式的压轴题解析工具书，分类具体细致（含知识点详细目录），查找题型如同查字典；一本画给你看的书，有图有真相，思路方法自然生成;一本厚而实（内含294道压轴题）的课外数学读物;一本一线教师多年教学经历的结晶而成的实用且可操作性强的书;一本值得有理想和上进的师生拥有的集思路和方法于一体的书！…，感谢你关注本书！）
强调:如果你想学几何画板，请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.
平行线的判定和性质(1)
——平行四边形（1）
【例题】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【分析】利用“平行四边形的性质”可得OA=OC，OB=OD；由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE＝0.5OA，OF＝0.5OC，从而OE＝OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵点E、F分别为AO、OC的中点，
∴OE＝0.5OA，OF＝0.5OC，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
【反思】本题考查了平行四边形的判定与性质，其中判定方法共有五种(关于“边”的有三种，关于“角”与“对角线”各有一种，运用时要根据条件合理、灵活地选择方法，并认真领会它们之间的联系与区别.
【拓展1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【提示】解法与原题类似.
下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)：
购买渠道:"微店"(可打开相关文章后，扫描文章中的二维码进店购买).
提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道．
感谢朋友们的支持和鼓励！
【拓展2】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F在对角线AC所在的直线上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【提示】解法与原题类似.
＊将点E、F改为边AD、BC（若其延长线）上呢？
【拓展3】如图，在▱ABCD中，已知点E、F在边AD和BC上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【提示】解法与原题类似.
具体过程如下：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF．
【拓展4】如图，在▱ABCD中，已知点E、F在边AD和BC所在的直线上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【提示】解法与原题类似.过程略．
＊将点E、F改为“经过对角线交点的任意直线上”呢？
【拓展5】如图，在▱ABCD中，已知点E、F在边AD和BC所在的直线上，且OE＝OF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【提示】解法与原题类似.
扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，
输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.
输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.
输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……
输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）
您的点赞是对我的鼓励和肯定，
您的分享和转发是我坚持的信心和动力！