平面内的点的坐标特点(4)——平面直角坐标系（6）——尖子生之路[七下系列]

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平面内的点的坐标特点(4)

——平面直角坐标系（6）

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【例题】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“友好距离”，给出如下定义：若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的“友好距离”为|x₁﹣x₂|；若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，则P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的“友好距离”为|y₁﹣y₂|；

（1）已知点A（﹣3/2，0），B为y轴上的动点，

①若点A与B的“友好距离为”3，求B点的坐标．

②求点A与点B的“友好距离”的最小值．

（2）已知C点坐标为C（m，2/3m+3）（m＜0），D（0，1），求点C与D的“友好距离”的最小值及相应的C点坐标．

【解析】理解“友好距离”的定义是解决问题的关键.

（1）①因点B位于y轴上，可以设点B（0，y）．由“友好距离”的定义可得|0﹣y|=3，y=±3；

②设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣3/2﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“友好距离”最小值为3/2；

（2）求点C与点D的“友好距离”的最小值时，根据“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，则P₁与P₂的“友好距离”为|x₁﹣x₂|”，此时|x₁﹣x₂|=|y₁﹣y₂|，即|m|=|2/3m+2|，解之即可．

【解】（1）①设点B（0，y）．根据“友好距离”的定义有：

|﹣3/2﹣0|=3/2≠3，

|0﹣y|=3，解得y=3或y=﹣3；

∴点B（0，3）或（0，﹣3）．

②依题意，得：

|﹣3/2﹣0|≥|0﹣y|，

即|y|≤3/2，

∴点A与点B的“友好距离”的最小值为3/2．

（2）依题意，得：

|m|=|2/3m+3－1|，

即|m|=|2/3m+2|，

又因为m＜0，

所以当m≤﹣3时，

m=2/3m+2，

解得m=6（舍去）；

当﹣3＜m＜0时，

﹣m=2/3m+2，

解得m=﹣6/5，

∴点C与点D的“友好距离”的最小值为：|m|=6/5，此时C（﹣6/5，11/5）．

【反思】解题的关键是要弄清楚题干中的已知条件及题中的“友好距离”的定义．

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【拓展1】对于a、b定义两种新运算“*”和“⊕”：a*b=a+kb，a⊕b=ka+b（其中k为常数，且k≠0）．若平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P的坐标为（a*b，a⊕b）与之相对应，则称点P为点P的“k衍生点”

例如：P（1，4）的“2衍生点”为P′（l+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．

（1）点P（﹣1，6）的“2衍生点”P′的坐标为　．

（2）若点P的"3衍生点"P′的坐标为（5，7），求点P的坐标．

【解】（1）依题意，得P（﹣1，6）的“2衍生点”P′的坐标为[-1+2×6，2×(-1)+6]，即（11，4）；

（2）设点P（a，b），依题意，得

a+3b=5，且3a+b=7.

两式相加，得4a+4b=12.

即a+b=3.

所以a+3b＝(a+b)+2b=5，

且3a+b=(a+b)+2a= 7.

即3-2b=5,且3+2a=7.

解得a=2，b=1.

∴点P的坐标为（2，1）．

【拓展2】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“识别距离”，给出如下定义：

若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的“识别距离”为|x₁﹣x₂|；

若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，则P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的“识别距离”为|y₁﹣y₂|；

（1）已知点A（﹣1，0），B为y轴上的动点，

①若点A与B的“识别距离为”2，写出满足条件的B点的坐标　．

②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值　．

（2）已知C点坐标为C（m，2m+3），D（0，1），求点C与D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标．

【分析】（1）根据“识别距离”的定义解答；

（2）根据“识别距离”的定义列出方程求解．

【解】①（0，2）或（0，﹣2）；

②“识别距离”的最小值是1；

（2）|m﹣0|=|2m+3﹣1|，

即m=2m+2或m=-2m-2.

解得m=-2或﹣2/3，

当m=-2时，“识别距离”为2

当m=﹣2/3时，“识别距离”为2/3.

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