2018-2019福州市七下期末质量调研第25题（倒一压轴）（实数、点与动点坐标，平面坐标系、面积与方程（组）不等式等综合
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【试题】如图，在平面直角坐标系xoy中，A点的坐标为（1，0）．以OA为边在x轴上方画一个正方形OABC，以原点O为圆心，正方形的对角线OB长为半径画弧，与x轴正半轴交于点D．
（1）点D的坐标是________；
（2）点P（x，y），其中x，y满足2x－y=－4．
①若点P在第三象限，且△OPD的面积为3√2，求点P的坐标；
②若点P在第二象限，判断点E（x/2+1，0）是否在线段OD上，并说明理由．
【解析】
（1）为课本内容——如果没有经过拼图操作或老师强调或类似的练习，估计多数学生都忘了。由两个边长为1的正方形拼成一个大的正方形，这时大正方形的边长为√2，即对应的边长为1的正方形的对角线的长．得OD＝OB＝√2，因此点D的坐标为（√2，0）．
（2）①当点P在第三象限时，如下图示：
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如上图示．
由S△OPD＝0.5OD×PQ ＝3√2，得0.5×√2×PQ＝3√2，得PQ=6，
因点P（x，y）在第三象限，且满足2x-y=-4，
所以点P的坐标为（-5，-6）．
【试题再现】（2）点P（x，y），其中x，y满足2x－y=－4．
②若点P在第二象限，判断点E（x/2+1，0）是否在线段OD上，并说明理由．
【解析】由于点E（x/2+1，0）在x轴上，且点E（√2，0）．因此只需判断x/2+1的值所在的范围，即可得到点E在x轴上所在的位置，进而判断是否在线段OD上．
由于点P在第二象限，则有x<0，且y>0．但仅凭x<0无法确切得到点P的相对具体的位置（即无法还是无法判断x/2+1的有用的值范围）．
而两个未知数x、y通过“其中x，y满足2x－y=－4”互相牵连．由2x－y=－4可得y=2x+4，因此可将“y>0”的条件转化为2x+4>0，得x>-2，所以-2<x<0，得-1＜x/2<0，得-1+1＜x/2+1<0+1，即0<x/2+1<1．得0＜OE＝xE(即E点的横坐标)＜1＜OD，因此点E在线段OD上．
具体解答过程如下：
点E在线段OD上．理由如下：
【反思】本题综合考查了实数、平面直角坐标系，方程不等式（组）等知识内容的应用，动点及含参的重要知识内容也巧妙渗透其中，同时重视对式与方程的常用变形的本质、数形结合思想的考查，尤其是从“等式过渡到不等式“，从“数与式的值”的变化过渡到“形”的变化（平面直角直角系及动点的位置关系），尽管难度不大，但本题作为今后对纯代（函）数及数形结合思想、方程不等式思想的教学起着非常重要的“启蒙”作用，务必要引起充分的重视.
【拓展延伸1】已知点P（x，y），其中x，y满足2x－y=－4．判断点P所在的象限或坐标轴．
【解析】由题意知：点P为动点，且其横纵坐标受2x-y=-4限制，因此并不是“完全自由点”．由于x、y是两个变化的数，不易观察出变化关系，可将2x-y=-4化为y=2x+4，则P（x，2x+4）．再通过对x的值的讨论，x与2x+4的值的符号即可判定．由于0是正负数（或数的符号）的分界线，因此通常情况下，可围绕横纵坐标为0时的特殊情况进行分类讨论．
由2x+4=0得x=-2.因此可分为x<-2，或x=-2，或-2<x<0，或x=0，或x＞0五种情况分别讨论x与2x+4的值的符号，即点P的横纵坐标的符号，从而得到点P所在的象限或坐标轴．
【答案】当x<-2时，点P在第三象限；当x=-2时，点P在x轴的正半轴上；当-2<x<0时，点P在第二象限；当x=0时，点在y轴的正半轴上；当x>0时，点P在第一象限；不论x为何实数，点P一定不可能在第四象限．
【拓展延伸2】已知点P（x，y），其中x，y满足2x－y=－4．当点P在第三象限时，求3x-2y的取值范围．
【解析】依题意，得x<0，y>0．由2x-y=4，得x=(y-4)/2．从而(y-4)/2＜0，解得y<4．所以0<y<4．而由原试题，得-2<x<0．
由-2<x<0，得-6<3x<0．
由0<y<4，得0>-2y>-8．
即-8<-2y<0．
所以-6-8<3x-2y<0．
即-14<3x-2y<0．
【拓展延伸3】已知x+2y≤3，x≥0，y≥0．分别求y的取值范围和2x+y的最大值．
【解析】由x+2y≤3，得x≤3-2y，所以2x+y≤2(3-2y)+y，即2x+y≤6-3y．
又由x≥0和x≤3-2y，得3-2y≥x≥0，得3-2y≥0，得y≤3/2．
又y≥0，所以0≤y≤3/2．得-9/2≤-3y≤0．进一步，得3/2≤6-3y≤6．
所以2x+y≤6．故y的取值为0≤y≤3/2．2x+y的最大值为6．
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