数学与音乐握手---从高考数学卷中的“琴键”题说起

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来源： 小语文榕

（微信号：xiaoyuwenrong2019）

数学与音乐握手

从高考数学卷中的“琴键”题说起

        在刚刚过去的高考文科数学卷中有一道数学题上了热搜。有网友戏言，没想到有朝一日竟能用乐理做出一道数学高考题。     这是一道很特别的单选题，题目是这样的：如下图，将钢琴上的12个键依次记为.设1≤i≤j≤k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称为原位大三和弦；若k-j=4且j-i=3,则称为原位小三和弦。用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（    ）。A.5   B.8   C.10    D.15           “大三和弦”在音乐中的定义是“根音与三音是大三度且三音与五音是小三度的和弦”，而“小三和弦”则是指“根音与三音是小三度且三音与五音是大三度的和弦”。

     想法1：画出五线谱，标出大、小三和弦（如下图）

         所以，答案是C.
      想法2：钢琴的一组（12个键）可以构成C、^#C、D、^#D、E调的五个“一级和弦”以及^#D、E、F、^#F、G调的五个“六级和弦”。所以，答案为C。     想法3：大、小三和弦的跨度为7个键，12个键里一共有5组，每组有大、小三和弦两种（如下图）。 所以，答案为C。 

     当前,“数学文化”与“学科统整”成了数学教师最为关注的话题之一，命题教师也十分注重学理逻辑和理论思辨，探索教育本质和规律，加强跨学科研究，促进教育科学和自然科学交叉融合，让学生从“数学文化”“学科统整”中提高综合素养。

你我之同在

    音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有联系吗？答案是肯定的。它们相互渗透、互相促进、你中有我、我中有你。    数学和音乐都有自己的符号语言。有些符号数学中有，音乐中也有，但表达的意义有不同。“1、2、3、4、5、6、7”在数学中表示自然数的个数，在音乐中表示音名，其对应的唱名是“do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”。“0”在数学中是最小的自然数，也是有理数，在音乐中表示休止。“3/4”在数学中是分数，表示：把“1”平均分成4份，表示这样的3份；还可以表示：把3平均分成4份，表示这样的1份，在音乐简谱中表示：以四分音符为一拍，每小节有3拍。“>”在数学中是大于符号，在音乐中是顿音记号，拉长后变成渐弱记号。“×”在数学中是乘号，在音乐中是重升记号（升高基本音级一个全音）。

    在数学教科书中也常有音乐的身影。人教版小学数学六年级教材在“你知道吗？”中就介绍了音乐中五线谱里的音符用分数表示的方法（如下图）。常用的音符有全音符（）、二分音符（）、四分音符（）、八分音符（）和十六分音符（）。二分音符、四分音符、八分音符和十六分音符表示的时值分别是全音符时值的1/2、1/4、1/8、1/16。一个全音符的时值里分别包含了2个二分音符、四个四分音符、八个八分音符和16个十六分音符。

神奇之所在

音乐中,每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，我们可以将声音的这三种品质通过数学图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，音色则与周期函数的形状有关。数学中有平移、对称现象，音乐中也有（如下图）。

   再看一下乐器之王 ---钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关。在钢琴的键盘上,从一个 C键到下一个 C键就是音乐中的一个八度音程(如下图) .其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键 ,而 5个黑键分成 2组 ,一组有 2个黑键 ,一组有 3个黑键.2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。

   假定一根空弦发出的音是do，则二分之一长度的弦发出的就是高八度的do，8/9长度的弦发出re,64/81长度的弦发出mi，3/4长度的弦发出fa，2/3长度的弦发出so,16/27长度的弦发出la,128/243长度的弦发出si等以此类推，如果我们以音高为横坐标，弦长为纵坐标，就可以画出一条近似的指数曲线（如下图）。这就是三角钢琴的形状近似于指数曲线的原因，不仅省材，而且美观。

我思故我在

       毕达哥拉斯是古希腊哲学家，他说：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”           

       有一天，毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺时，他发现里面传出的打铁声要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了量铁锤和铁砧的大小，发现一个规律，音响的和谐度与发声体体积的比例有关。之后，他又在琴弦上做了许多试验，进一步发现只要按比例去划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音。如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。

       爱因斯坦也曾经说过：“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成”。他经常在弹奏钢琴时思考难以捉摸的科学问题。据他妹妹玛雅回忆，他有时在演奏中会突然停下来激动地宣布：“我得到了它！”仿佛有神灵启示一样，答案会不期而遇地在优美的旋律中降临。据他的小儿子汉斯说：“无论何时他在工作中走入穷途末路或陷入困难之境，他都会在音乐中获得庇护，通常困难会迎刃而解。

     有位名师在教学小学四年级“大数的认识”时考虑，如果不借助数位或计数单位来读、写数，学生容易出错。如果借助数位表，在一串大数的上方标上数位或写上计数单位，又太麻烦。怎么办？他想到了音乐，用音乐中的4/4拍小节线来区别，正好与数级相对应，这样简单、方便，且不易出错（如下图）。

    音乐就它的基础来说是数学的，就它的出现来说是直觉的（莱布尼茨）。数学和音乐的“握手”是感性与理性的结合，是思性与灵性相随，只要我们认真学习、积极思考、不断前行，定能演绎出更多精彩、创造出更多奇迹。

资料来源：（百度文库）

（游文洁   游利瑛）

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