实例解读：中考数学压轴突破的必备能力

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂

收录于合集

突破中考数学压轴的信心，来自你的胆量，来自你的“细节意识”与“大局”观：胆大心细，从容面对，信心油然而生，源源不断．

胆大：不“迷信”压轴题可怕．

心细：不放过题中任何一个细节．

培养路径：细节意识与大局理念.

最大障碍："构图"和"含参计算"．(具体表现在：画不出或画不完整符合条件的图（象），算不下去或不敢算)

训练建议

（一）"构图"训练：

1．充分感受与体会"基本图形"的重要性，利用基本图形的动态变化（平移、旋转、对称），放开想象，放开思路，培养“敢于联想，善于联想“的能力．以数学中的各种"语言"（图形语言、符号语言、文字语言）描述"联想"．

2．充分利用三角板、圆规进行"动态画图"操作演练（如：平移——不同方向平移、对称（折）——改变对称轴、旋转——改变不同角度）．

训练时，应从特殊的三角形或四边形开始，到一般的三角形或四边形．在训练中，务必注意"动中有静"的画图能力的训练．

如：利用手中的三角板在不同位置下快速画出各种变换的图（特殊位置的图），借助观察得到的结论再大胆展开想象：在不同特殊位置时，图形中的各个点、线、形等产生如何的变化？或者在何位置时，图形中的点、线、形有特殊的关系？

3．利用已练过或现有的试题隐去相关的点线，或将之拓展延伸，进行实战演练．

如：在使用中考真题或质检题时，故意不给图，或只给出一个最基本的图让学生进行训练．训练时，尽量做到：定时定量；画出在不同可能情况下的图；思考在“动态“情景下画图；找出其中的基本图形（定理所蕴含的图形）；分别在不同的背景下可得到哪些异同的结论．

4．在画图中体会图形的动态变化，可将中考中常见的图形和图解思路进行归纳，展示（画板展示效果最好），无需多长时间，优生自会潜移默化．不论上课，还是课外，总有意无意与一些重要的图“扯”上关系，如：让优生画好后的图放在自己固定的常“出没”的地方，常与之“纠缠不清”，使之结下“不解之缘”．

（二）"含参计算"训练：

可以利用已练过的方程（组）或不等式（组）中的某个或两个的已知系数改为“字母系数”进行“含参计算“训练．如：可用课本中（或已经练习过）的方程（组）、不等式（组），将其中的一个或几个已知常数换成字母系数或关于字母系数的代数式，进行强化并感知训练（如：解关于字母系数的方程、方程组、不等式、不等式组）．如字母系数可以为x₁．y₁或m²-m或m+1/m等．又如：将方程（组）转换成含参的函数，进行与“函数交点“、”增减性“相关的试题训练.

切不可忽视的能力："读题"

逐字逐句的读，以“图（象）”形式展示你的阅读成果．切忌泛读，务必慢咬细嚼，不可快速读完，更不能把整题读完，如若这样等同于将后面的烦恼提前（明天的烦恼留着明天吧），势必会产生杂念，一心不能二用，会将难题人为的“扩大化”，并产生新的“障碍”：本来就能顺利完成的某些内容（得一定的分数），被这么一读，因顾虑到后面难的不好理解的内容反而丧失信心。

如果题中有图，则可以将已有的图作为“样本模板“，重新构图，如果题中没图，那就更应该构图，但需注意：是构图，并非草率无根据无目的的画图．构图过程中的”收益“定会不少，在构图中结合后面即将说明的“联想”，往往已经在不知不觉中解决了问题．

如果你用“图”表达试题内容时，遇到无法确定的点、线、形时，哈哈哈，这就对了，那多数就是动态的基本图形哦，你已经想到了这是动态的——第一关难度．此时你要做的是：将这些无法确定的点、线、形分别画出不同的特殊位置（或者特殊再特殊，如：点P是△ABC所在的平面的点，在画图时，你可以画在△ABC的外心处，可以画在△ABC的边上，甚至可以画在和△ABC的顶点上），再画一般的情形，注意可分开画图．永远记住，几何和函数的多数问题往往是：特殊情况下的解题思路和结论，在一般情况下也同样适用．更何况你已经将各种情况的图表达清楚了，就不不担心漏掉答案．

在构图过程中，务必多留个“心眼“，如：点P在边AB上，画的时候需注意，也许点P画在边AB中点的左边或右边或就在中点上，得到的答案就会有所不同，往往多个答案由此而生．也许当画在特殊点位置时，就已经找到了解决问题的一般思路和方法（从特殊到一般的重要数学思想正是如此哦！）

最需提升的能力："联想与猜想"

一个点，一条线、一个基本图形、一个特殊角或特殊图形，想到了什么？一个熟悉的条件你又想到了什么？一个“怪异“的条件又想到了什么？条件与图结合起来，又想到了什么？哪些图形与条件，是一而再再而三与见过的，训练过的，甚至是讨厌过的，或者遗憾过的？一个你非常容易得到的结论，能想到什么样的更一般的结论，更深层次的结论？

如：你已画了一个三角形，此时可做如下思考：这个三角形是特殊的三角形吗？特殊在哪？这个三角形已有什么条件？能从这些条件得到什么结论（赶紧标注上）？这些条件能影响三角形的什么元素？这个三角形是确定的吗？即这个三角形是否可解（能具体求解出什么结论）？这个图形在什么样的背景下？这个三角形是静的，还是动的？如果是动的，特殊情况下又是如何？在这个图形中，你能想到哪些定理？由这些定理你能得到什么结论？如果添加一条或几条线，通过相关组合，你能发现哪些最常见的基本图形？从这些基本图形中你又能得到什么最基本且重要的结论？……（放心，总会有你所能想到的？也许不全面甚至很少，但定会在后续的解题中用的上，即便还是没有思路，你将这些结论写上，也可得到一定的分数。（倘若你还没能解决，其实仅是因为某一点或结论还没想到而已）．这一步非常有效且实用，也许你在不知不觉中已经解决了第（1）（2）小题．

记住：即便是乱想，甚至空想，也定有收获，就怕不想不碰，就怕不敢多看一眼．更何况你或多或少总会想到一些有用的结论．

必需具备的能力：敢于疏理归纳，做到：能思会想．

能思：即“知己知彼”，将已知与未知结合图形进行多向联系：如图形上位置、数量的联系、与特殊的点（角）、线、形进行联系（如有无特殊角），尤其也特殊的基本图形（定理的原形图）的联系，若有困难，也可大胆猜想，甚至可以借助三角板和刻度尺进行特殊化和度量操作等，以此来帮助思考．

会想：利用已画的图形和现有的结论大胆联想．如：联想到这个图形是否似曾相识？联想到图中有什么定理或基本图形可用？回忆一下平时老师常说哪些语言？回忆平时训练时遇到此类问题是如何解决？回忆平时有哪些办法可以打开思路？联想到类似问题通常用哪些办法？正如前面所说的，放开心怀，总有你能联想到的？哪怕只是那么一点？都不可放过，太多奇迹就是这么产生的？往往在你的这些联想中，问题已经解决过半，甚至完全迎刃而解．即便还是没有头绪，还请你放心，你不会做无用功，你将之最有用的结论写在试卷中，相信也定会得到一定的分数，因为你只是没有完全想到，就“差那么一点”没想到而已，同样可以得高分，何乐而不为？　　　　　　　　

有效突破路径：

（1）边画图边思考（尤其是相关结论和常用辅助线、方法和结论）记住：千万不可将题目先读完！（没必要将后面的“烦恼”提前）

（2）图（常用的辅助线赶紧添上，能得到多少结论标上）

（3）还是图（有可能几种情形要先画出）

（4）仍然是图（特殊情况如何处理，一般情况几乎也是如此）

（5）还是图哦！（看到这些图，你想到了什么？不就是“三角（函数）、相似、勾股吗？”、不就是“平移、旋转、对称吗？”、“那些常见的基本图形能帮上忙吗？）

（6）最后别忘了：

①“代数方法——方程思想”：一个字母不够，两个已经足矣！

②函数常见思路：“设”、“求”、“代”.

③“平移、旋转、对称”几乎能帮你解决所有问题哦！（充分利用三角板帮你“平移、旋转、对称”）

强调一：

强调二：不“迷信”压轴题真的那么可怕．胆有多大，成功就有多大；心有多细，得分就有多高；胆大心细，成就成功和高分．相信自己：我行，肯定行！

下面以实例分析形式，旨在为考生在解答几何压轴时提供一点思路和技巧．

案例1：纯几何综合

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若BG=6，（或S△AEG=3√3），求AC的长．

题干解读：

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，……

图解题意：

直角、45°，等腰、对称

发挥想象：

背景为等腰直角三角形——“等腰”与“直角”的众多重要结论——对称、旋转（具备直接旋转的条件）——与正方形相关——特殊角（45°）——倍角为直角——“三线合一”……

原文：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，……

图解题意：

发挥想象：点E、F可看作动点，两动点此时可看作各自边上的“自由动点”（即无互相牵制），尚未有所联系．“动中有静”——常设元，通过“方程”解决（方程思想）．

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，连接CF，交BE于点D，……

图解题意：

发挥想象：点E、F可看作动点，两动点此时可看看作各自边上的“自由动点”，尚未有所联系．“动中有静”——常设元，通过“方程”解决（方程思想）．

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，……．

图解题意：

发挥想象：结合上述已有条件，得：

“一边一角”相等——全等；

一角相等+再证一角相等——相似．

上图中的基本图形——“Rt△BCE的斜边上的高”——非常丰富的结论．

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．……

图解题意：

发挥想象：

与角平分线相关的思路如下：结合45°和90°的特殊角，便有更多的结论和思考空间．

至此，已经将试题的题干部分图解并精析完成，此时实际上已经得到了较多与本题有关的结论和思路．

第1小题

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；……

图解精析：

思路1

思路2

发挥想象（见下一小题的题干分析部分）：

第2小题

先分析题干部分

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，……

图解题意：

基本图形：

发挥想象：

（重要图形，知二求一——利用三角函数与相似，可得众多结论）

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，……

图解题意：

发挥想象：

原文：如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，……

图解题意：

原文：

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

……

图解证明：

发挥想象：

第3小题

原文：

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，……

图解题意：

见上述图形，另外还有以下结论：

原文：

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，……．

图解题意：

用方程思想处理“∠GAC=2∠FCH”，得到30°的特殊角．

进一步，还可以得到众多与之相关的重要结论（后续需要时说明）

原文：

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若BG=6，……

图解题意：

原文：

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若BG＝6，（或S△AEG=3√3），……

图解题意：

原文：

【例】如图1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．

（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，如图1-2，求证：PB=CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，如图1-3，若S_△AEG=3√3，（或BG=6），求AC的长．

图解题意：

发挥想象：

非Rt△只需三个条件（至少一个是边的条件）即可解之．

至此，本题已完美解决．

反思：逐字逐句读懂试题表述，耐心感受和体会图形的点、线、形的“生成”与“呈现顺序”．善用数学语言表述你所得到的结论，并标注上“相应标记”，根据图形上的点、线、形的位置关系与特点，大胆思考，并解读试题所涉及的相关知识内容，再进行综合运用即可解决问题．

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案例2：纯代(函)数综合

题干解读：

原文：在平面直角坐标系xoy中，已知点A．若对点A作如下变换：

读出题意：坐标系背景下：（养成好习惯）建立坐标系，此时的点尚未确定，可理解为动点，另外此语句也道出的试题背景，新定义或阅读理解的开始．

原文：作点A关于x轴的对称点A₁……

读出题意：点A与点A₁的坐标联系：横坐标相同，纵坐标相反，即若A（a，b），则A₁（a，-b），其中a、b是任意实数．在坐标系表示时，点A和点A₁可以在任意象限或坐标轴上，若连接AA₁，则有AA₁垂直平分x轴．

原文：以O为位似中心，作线段OA₁的位似图形OA₂……

读出题意：位似是相似的特殊情况，相似的相关性质均成立，原文中的描述相当于：将线段以原点为放缩中心进行放缩．同时要特别注意的是：位似中心为坐标原点（特殊点），而在坐标系中，以原点为位似中心的对应点的坐标特征又是如何？（提示：若点P（m，n），相似比为k，则位似点的坐标为（km，kn）或（－km，-kn）．

原文：……相似比OA₂/OA₁＝q……

读出题意：

（1）对几何图形来说，两线段的长度的比值均为正数，即题中的“q“为正数.但在坐标系中，对于坐标而言，其值可正可负．自然需要考虑到关于原点对称的两情况；

（2）q的值并不是确定的值，可理解为动参数，且q≠0，显然当q的值变化时，位似点A₂也随之改变；

（3）”点动成线“——点A₂总是在直线OA₁运动，即经过原点和点A的对称点（A₁）上运动（原点除外）．因此当点A确定时，点A₂的运动路径也随之确定，如下动态图演示．

原文：称A₂是点A的对称位似点……

读出题意：新定义（阅读理解）型试题，思考相关问题时，务必遵循上述规则思考点的变化，并能用数学语言和图形语言（坐标系中表示）表达出来．

第一小题解决

读懂了题干，第（1）问就迎刃而解了。如下图示：答案为（4，-6）或（-4，6）．

第二问（两小题）

（支）题干解读：

原文：已知直线l：y=kx－2……

读出题意：（1）该直线的解析式中有一个参数k（位于一次项系数的位置），并且没有任何限制条件．有一个常数－2；（2）简单理解：直线y=kx-2是动直线，且直线的倾斜度随k的值的变化而变化，当k取特殊值0时，则直线与x轴平行，此时是一个常数函数．（3）进一步，理解本质：该直线经过定点（0，-2），且绕着定点（0，-2）旋转的任意直线．

读出题意：

（1）抛物线C的解析式中只含一个参数m，且位于一次项系数的位置上，同时m的值为正数，而二次项系数与常数项均为确定的常数；

（2）图象上理解：当m的值变化时，抛物线C可以由任意特殊位置（如y=-1/2x²）进行互相平移；

（3）抛物线经过定点（0，－2）（恰好也是直线y=kx-2所经过的定点），由此又可得到：若直线l与抛物线C还相交，则另一交点坐标可通过因式分解易求，即解的结果不会出现根式（本公众号已有多篇文章说明），如下：联立抛物线C与直线l的解析式，得：

（4）由m>0，与二次函数-1/2＜0异号，则抛物线的对称轴x=m,位于y轴的右边．

（5）可以通过配方，得到抛物线的顶点坐标（用m表示）为(m，-m²/2-2)．

从上述分析，显然还是没办法画出准确的函数图象，但可以根据m的值画出草图了）

（5）当m=2k时，x_M＝2(m-k)＝2k，对应的y_m=-2k²-2，即M(2k，-2k²-2)．此时点M恰为抛物线C的顶点；

当m=－k时，x_M＝2(m-k)＝－4k，对应的y_m=-4k²-2，即M(-4k，-4k²-2)．

第二题（1）问的解决

原文：①当k=1/2时，……；

读出题意：当k=1/2时，由上述题干解读知：所有的相关点的坐标（如N（2，））．和相关式子均可具体求出；当然也可直接代入进行求解．本小题所需要的点是N（2，-1）．

原文：判断E（1，－1）是否为点N的对称位似点？请说明理由；

读出题意：此时E（1，-1）和N（2，-1），根据题干解读知：只需判断点E是否在直线ON（y=-x/2）点?或E点与N点的坐标能否满足：横坐标的比＝纵坐标的比（比值绝对值即为题中的q）?因此只需将相关数据直接代入计算即可判断．

答案如下：

【法一】因点N关于x轴的对称点N₁（2，1），根据定义，N点的位似点应为(2t，t)(t为任意实数，用t代替q，避免分类)，进一步，得：N点的位似点应在直线y=x/2上（原点除外）．显然E（1，-1）不在直线y=x/2上，所以当k=1/2时，点E（1，-1）不是点N的对称位似点．如下图示，

第二题（2）问的解决

问题再现：若直线l与抛物线C交于点M（x₁，y₁）（x₁≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．

下面详细分析

原文：直线l与抛物线C交于点M（x₁，y₁）（x₁≠0）……

读出题意：（支）题干解读中已详细分析．M(2k，-2k²-2)或M(-4k，-4k²-2)

原文：点M不是抛物线的顶点……

读出题意：因顶点为(2k，-2k²-2)（题干解读中已有分析），所以M(-4k，-4k²-2)．

原文：点M的对称位似点……

读出题意：因M(-4k，-4k²-2)，根据题干解读知：点M关于x轴的对称点为M₁(-4k，4k²+2)，点M的对称位似点为M₂(-4kt，(4k²+2)t)(t≠0的实数，用t不用原来的q是为了避开分类讨论)．

如有收获,请在文末点个赞和点个在看！

— END —

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