【强基固本】损失函数 | 交叉熵损失函数

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来源：知乎—飞鱼Talk

地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/35709485

这篇文章中，讨论的Cross Entropy损失函数常用于分类问题中，但是为什么它会在分类问题中这么有效呢？我们先从一个简单的分类例子来入手。

01

图像分类任务

我们希望根据图片动物的轮廓、颜色等特征，来预测动物的类别，有三种可预测类别：猫、狗、猪。假设我们当前有两个模型（参数不同），这两个模型都是通过sigmoid/softmax的方式得到对于每个预测结果的概率值：

模型1：

模型1对于样本1和样本2以非常微弱的优势判断正确，对于样本3的判断则彻底错误。

模型2对于样本1和样本2判断非常准确，对于样本3判断错误，但是相对来说没有错得太离谱。

好了，有了模型之后，我们需要通过定义损失函数来判断模型在样本上的表现了，那么我们可以定义哪些损失函数呢？

1.1 Classification Error（分类错误率）

最为直接的损失函数定义为：

模型1：   

模型2：   

我们知道，模型1和模型2虽然都是预测错了1个，但是相对来说模型2表现得更好，损失函数值照理来说应该更小，但是，很遗憾的是，    并不能判断出来，所以这种损失函数虽然好理解，但表现不太好。

1.2 Mean Squared Error (均方误差)

均方误差损失也是一种比较常见的损失函数，其定义为： 

模型1：

对所有样本的loss求平均：

模型2：

对所有样本的loss求平均：

我们发现，MSE能够判断出来模型2优于模型1，那为什么不采样这种损失函数呢？主要原因是在分类问题中，使用sigmoid/softmx得到概率，配合MSE损失函数时，采用梯度下降法进行学习时，会出现模型一开始训练时，学习速率非常慢的情况（MSE损失函数）。

有了上面的直观分析，我们可以清楚的看到，对于分类问题的损失函数来说，分类错误率和均方误差损失都不是很好的损失函数，下面我们来看一下交叉熵损失函数的表现情况。

1.3 Cross Entropy Loss Function（交叉熵损失函数）

1.3.1 表达式

(1) 二分类

在二分的情况下，模型最后需要预测的结果只有两种情况，对于每个类别我们的预测得到的概率为    和    ，此时表达式为（   的底数是   ）：

其中：
-    —— 表示样本    的label，正类为    ，负类为   

-    —— 表示样本    预测为正类的概率

(2) 多分类

多分类的情况实际上就是对二分类的扩展：

其中：
-    ——类别的数量
-    ——符号函数（    或    ），如果样本    的真实类别等于    取    ，否则取   

-    ——观测样本    属于类别    的预测概率

现在我们利用这个表达式计算上面例子中的损失函数值：

模型1：

对所有样本的loss求平均：

模型2：

对所有样本的loss求平均：

上述计算可以使用python的sklearn库

from sklearn.metrics import log_loss 
y_true = [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]] 
y_pred_1 = [[0.3, 0.3, 0.4], [0.3, 0.4, 0.3], [0.1, 0.2, 0.7]] 
y_pred_2 = [[0.1, 0.2, 0.7], [0.1, 0.7, 0.2], [0.3, 0.4, 0.3]] 
print(log_loss(y_true, y_pred_1)) 
print(log_loss(y_true, y_pred_2)) 
____________ 
1.3783888522474517 
0.6391075640678003 

可以发现，交叉熵损失函数可以捕捉到模型1和模型2预测效果的差异。

02

函数性质

可以看出，该函数是凸函数，求导时能够得到全局最优值。

03

学习过程

交叉熵损失函数经常用于分类问题中，特别是在神经网络做分类问题时，也经常使用交叉熵作为损失函数，此外，由于交叉熵涉及到计算每个类别的概率，所以交叉熵几乎每次都和sigmoid(或softmax)函数一起出现。

我们用神经网络最后一层输出的情况，来看一眼整个模型预测、获得损失和学习的流程：

1. 神经网络最后一层得到每个类别的得分scores（也叫logits）；
2. 该得分经过sigmoid(或softmax)函数获得概率输出；
3. 模型预测的类别概率输出与真实类别的one hot形式进行交叉熵损失函数的计算。

学习任务分为二分类和多分类情况，我们分别讨论这两种情况的学习过程。

3.1 二分类情况

二分类交叉熵损失函数学习过程

如上图所示，求导过程可分成三个子过程，即拆成三项偏导的乘积：

3.1.1 计算第一项：   

-    表示样本    预测为正类的概率

-    为符号函数，样本    为正类时取    ，否则取   

3.1.2 计算第二项：   

这一项要计算的是sigmoid函数对于score的导数，我们先回顾一下sigmoid函数和分数求导的公式：

3.1.3 计算第三项： 

一般来说，scores是输入的线性函数作用的结果，所以有：

3.1.4 计算结果   

可以看到，我们得到了一个非常漂亮的结果，所以，使用交叉熵损失函数，不仅可以很好的衡量模型的效果，又可以很容易的的进行求导计算。

3.2 多分类情况

多分类交叉熵损失函数学习过程

如上图所示，求导过程可以分为三个子过程：

和二分类区别在于：

• 因为多分类只有一个类别为    ，其他为    ，不失一般性，我们可以假设    为    ，其他为    ，所以损失函数求和式子中只有    这项不为    ，即   
•    这一项求导时，需要针对    是否等于    进行分类讨论（这里    表示的是样本真实类别为    ，    表示的是对我们想对输入到    的参数    求导）

3.2.1 计算第一项：   

不失一般性，我们可以假设    为    ，其他为    ，则

求导：

3.2.2 计算第二项：   

这一项要计算的是softmax函数对于得分的导数，我们先回顾一下softmax函数和分数求导的公式：

这里    表示的是样本真实类别为    ，    表示的是对输入到    的参数    求导，这时候存在两种情况：

情况1:   

则第二项的求导式子，可以写成：

求导后得

情况2:   

此时    这一项只在分母中存在，求导后得：

3.2.3 计算第三项：   

一般来说，scores是输入的线性函数作用的结果，所以有：

3.2.4 计算结果   

情况1:   

情况2:   

不失一般性，我们上述假设样本的真实类别为   ，则有:

我们求导时，对不同情况带入    的值后，得到了一致的表达式，如果采用向量化的形式，那么导数就不用再分情况写了，统一成：

可以看出，交叉熵损失函数对于二分类和多分类求导时，采用向量化的形式后，求导结果的形式是一致的。

04

优缺点

4.1 优点

在用梯度下降法做参数更新的时候，模型学习的速度取决于两个值：一、学习率；二、偏导值。其中，学习率是我们需要设置的超参数，所以我们重点关注偏导值。从上面的式子中，我们发现，偏导值的大小取决于    和    ，我们重点关注后者，后者的大小值反映了我们模型的错误程度，该值越大，说明模型效果越差，但是该值越大同时也会使得偏导值越大，从而模型学习速度更快。所以，使用逻辑函数得到概率，并结合交叉熵当损失函数时，在模型效果差的时候学习速度比较快，在模型效果好的时候学习速度变慢。

4.2 缺点

Deng [4]在2019年提出了ArcFace Loss，并在论文里说了Softmax Loss的两个缺点：1、随着分类数目的增大，分类层的线性变化矩阵参数也随着增大；2、对于封闭集分类问题，学习到的特征是可分离的，但对于开放集人脸识别问题，所学特征却没有足够的区分性。对于人脸识别问题，首先人脸数目(对应分类数目)是很多的，而且会不断有新的人脸进来，不是一个封闭集分类问题。

另外，sigmoid(softmax)+cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。

05

参考

[1] http://jackon.me/posts/why-use-cross-entropy-error-for-loss-function/

[2] http://sefiks.com/2017/11/08/softmax-as-a-neural-networks-activation-function/

[3] https://sefiks.com/2017/12/17/a-gentle-introduction-to-cross-entropy-loss-function/

[4]  Deng, Jiankang, et al. "Arcface: Additive angular margin loss for deep face recognition." Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. 2019.

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