空间向量与立体几何的关系汇总！！！

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距高考还有154天

一

空间向量的基本概念

1.空间向量的概念：

定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

模长：向量的大小叫做向量的模，a的模长记作￨a￨

备注：文中加粗的小写字母均代表向量。

2.空间向量的运算：

运算法则：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法符合三角形法则跟平行四边形法则

运算率：

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

数乘分配率：λ(a+b)= λa+λb

3.共线向量：

定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或者重合，那么这些向量也叫共线向量或者平行向量

共线向量定理：空间任意两个向量a，b，且a≠0，a∥b，存在实数λ，使b=λa

三点共线：此部分的内容与平面向量的三点共线是一致的，A，B，C三点共线能得到以下两个等式。

4.共面向量：

定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量

备注：空间内任意的两个向量肯定是共面的，因为向量可以进行平移

共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的条件是存在实数x，y使p=xa+yb

四点共面：若A，B，C，D四点共面也可以得到以下两个等式

5.空间向量基本定理：

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc

备注：若三向量a，b，c不共面，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使

6.空间向量的数量积：

向量的数量积：此部分内容也与平面向量相同，a·b=￨a￨·￨b￨·cos<a,b>

备注：

① a²=￨a￨²

② 0向量与任何向量的数量积均为0

空间向量数量积运算率：

(λa)b=λ(a·b)=a(λb)

a·b=b·a

a·(b+c)=a·b+a·c

7.空间向量的直角坐标系：

空间直角坐标系：在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA=x i+y j+z k，有序实数组(x，y，z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

备注: 向量i，j，k作为空间直角坐标系的基底，是三个互相垂直的向量，长度为1，这样的基底叫单位正交基底。

建立空间直角坐标系的右手定则:

伸出右手的大拇指、食指和中指，并互为90°，则大拇指代表X坐标，食指代表Y坐标，中指代表Z坐标；大拇指的指向为X坐标正方向，食指的指向为Y坐标的正方向，中指的指向为Z坐标的正方向。

空间向量的坐标运算：

a=(x₁，y₁，z₁)，b=( x₂，y₂，z₂)

a+b=(x₁+x₂，y₁+y₂，z₁+z₂)

a-b=(x₁-x₂，y₁-y₂，z₁-z₂)

λa=( λx₁，λy₁，λz₁)

a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

a∥b：x₁=λx₂，y₁=λy₂，z₁=λz₂

a⊥b：x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

二

立体几何在空间向量中的应用

1.法相量

定义：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.

注意：

① 法向量一定是非零向量;

② 一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量都互相平行;

③ 向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有n·m=0

求平面法相量的步骤：

① 设一个平面的法向量为n=(x，y，z)

② 找出平面内两个不共线的向量,并求出其坐标a=(a₁,b₁,c₁)和b=(a₂,b₂,c₂)

③ 根据法相量的定义建立方程组

④ 解方程组，求出其中的一个解，即得到法向量

2.用向量法解决立体几何平行问题

设直线L，m的方向向量分别是a，b，平面α，β的法向量分别是n₁，n₂

线线平行：L∥m⇔a∥b⇔a=k·b

线面平行：L∥α⇔a⊥n₁⇔a·n₁=0

面面平行：α∥β⇔n₁∥n₂⇔ n₁=k·n₂

_{3.用向量法解决立体几何垂直问题}

设直线L，m的方向向量分别是a，b，平面α，β的法向量分别是n₁，n₂

线线垂直：L⊥m⇔a⊥b⇔ a·b=0

线面垂直：L⊥α⇔a∥n₁⇔ a=k·n₁

面面垂直：α⊥β⇔n₁⊥n₂⇔n₁·n₂=0

_{4.用向量法解决立体几何空间角问题}

① 两条直线的夹角

两条直线夹角范围为：[0, 90°]

设直线L，m的方向向量分别为a，b

则两直线夹角为：

备注：两条异面直线的夹角范围为(0, 90°]，注意两条异面直线的夹角不会是0°

② 直线与平面的夹角

直线与平面夹角的范围：[0, 90°]

设直线L的方向向量为a，平面α的法向量为n

直线L与平面α所成的角为：

③ 二面角

二面角的范围：[0, 180°]

设平面α的法向量为n₁，平面β的法向量为n₂

则平面α-L-β的二面角为法相量的夹角或者法相量夹角的补角。

如果是法相量的夹角：

如果是法相量的夹角的补角：

那么如何判断二面角是法相量的夹角还是法相量夹角的补角呢？

老师告诉大家一种判断的方法，在α内任意找一点A，β内找一点B，得到

如果所得结果是同号，那么平面的二面角是两个法向量的夹角

如果所得结果是异号，那么平面的二面角是两个法向量的夹角的补角

具体如下图：