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空间向量与立体几何的关系汇总!!!

高中数学王晖 高中数学王晖 2022-07-17

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距高考还有154天


空间向量的基本概念

1.空间向量的概念:

定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。

模长:向量的大小叫做向量的模,a的模长记作│a

备注:文中加粗的小写字母均代表向量。

2.空间向量的运算:

运算法则:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法符合三角形法则跟平行四边形法则

运算率:

加法交换律:a+b=b+a

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

数乘分配率:λ(a+b)= λab

3.共线向量:

定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或者重合,那么这些向量也叫共线向量或者平行向量

共线向量定理:空间任意两个向量ab,且a0ab,存在实数λ,使ba

三点共线:此部分的内容与平面向量的三点共线是一致的,A,B,C三点共线能得到以下两个等式。

4.共面向量:

定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量

备注:空间内任意的两个向量肯定是共面的,因为向量可以进行平移

共面向量定理:如果两个向量ab不共线,p与向量ab共面的条件是存在实数x,y使p=xa+yb

四点共面:若A,B,C,D四点共面也可以得到以下两个等式

5.空间向量基本定理:

定理:如果三个向量abc不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc

备注:若三向量abc不共面,我们把{abc}叫做空间的一个基底,abc叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使

6.空间向量的数量积:

向量的数量积:此部分内容也与平面向量相同,a·b=│a│·│b│·cos<a,b>

备注:

① a2=│a2

② 0向量与任何向量的数量积均为0

空间向量数量积运算率:

a)b=λ(a·b)=ab)

a·b=b·a

a·(b+c)=a·b+a·c

7.空间向量的直角坐标系:

空间直角坐标系:在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。

注: 向量ijk作为空间直角坐标系的基底,是三个互相垂直的向量,长度为1,这样的基底叫单位正交基底。

建立空间直角坐标系的右手定则:

伸出右手的大拇指、食指和中指,并互为90°,则大拇指代表X坐标,食指代表Y坐标,中指代表Z坐标;大拇指的指向为X坐标正方向,食指的指向为Y坐标的正方向,中指的指向为Z坐标的正方向。

空间向量的坐标运算:

a=(x1,y1,z1),b=( x2,y2,z2)

a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

λa=( λx1,λy1,λz1)

a·b=x1x2+y1y2+z1z2

a∥b:x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2

ab:x1x2+y1y2+z1z2=0

立体几何在空间向量中的应用

1.法相量

定义:如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,那么向量n叫做平面α的法向量.

注意:

① 法向量一定是非零向量;

② 一个平面的法向量不唯一,但所有的法向量都互相平行;

③ 向量n是平面的法向量,向量m是与平面平行或在平面内,则有n·m=0

求平面法相量的步骤:

① 设一个平面的法向量为n=(x,y,z)

② 找出平面内两个不共线的向量,并求出其坐标a=(a1,b1,c1)和b=(a2,b2,c2)

③ 根据法相量的定义建立方程组

④ 解方程组,求出其中的一个解,即得到法向量

2.用向量法解决立体几何平行问题

设直线L,m的方向向量分别是ab,平面α,β的法向量分别是n1n2

线线平行:L∥m⇔aba=k·b

线面平行:L∥α⇔a⊥n1a·n1=0

面面平行:α∥β⇔n1n2 n1=k·n2

3.用向量法解决立体几何垂直问题

设直线L,m的方向向量分别是ab,平面α,β的法向量分别是n1n2

线线垂直:L⊥m⇔ab a·b=0

线面垂直:L⊥α⇔an1 a=k·n1

面面垂直:α⊥β⇔n1n2n1·n2=0

4.用向量法解决立体几何空间角问题

① 两条直线的夹角

两条直线夹角范围为:[0, 90°]

设直线L,m的方向向量分别为ab

则两直线夹角为:

备注:两条异面直线的夹角范围为(0, 90°],注意两条异面直线的夹角不会是0°

② 直线与平面的夹角

直线与平面夹角的范围:[0, 90°]

设直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n

直线L与平面α所成的角为:

③ 二面角

二面角的范围:[0, 180°]

设平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

则平面α-L-β的二面角为法相量的夹角或者法相量夹角的补角。

如果是法相量的夹角:

如果是法相量的夹角的补角:

那么如何判断二面角是法相量的夹角还是法相量夹角的补角呢?

老师告诉大家一种判断的方法,在α内任意找一点A,β内找一点B,得到

如果所得结果是同号,那么平面的二面角是两个法向量的夹角

如果所得结果是异号,那么平面的二面角是两个法向量的夹角的补角

具体如下图:




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