排列组合的知识点汇总---超全！！！

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距高考还有135天

一

基本概念

分类计数原理(加法原理)：

定义：

完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m₁+m₂+……+m_n种不同的方法。

本质：

每类方法都能独立的完成这件事，它是独立的，一次性的且每次得到的是最后结果，只需要一种方法就能完成这件事。

分步计数原理(乘法原理)：

定义：

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×……×m_n种不同的方法。

本质：

每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。

排列：

定义：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记。

公式：

组合：

定义：

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数：

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记。

公式：

排列组合的区别与联系：

排列与组合的共同点都是: 从n个不同元素中，任取m个元素，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是排列问题；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是组合问题。简言之，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关。

二

经典例题

枚举法：

例题：设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子，现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解：

从5个球中取出2个与2盒子对上号的有种，还剩下3个球要与3个盒子符号不能对上，利用枚举法，如果剩下的是3，4，5号球，3号球如果装4号盒时，则4，5号球只有1种装法，同理3号球装5号盒时，4，5号球也只有1种装法，所以总共是有2种装法。因此最终的结果为。

点评：

元素比较少的，又比较复杂的排列组合问题，可以用枚举法得到意想不到的结果。

变式：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种？

捆绑法：

例题：7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法

解：

点评：

要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决，将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。

变式：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩拍成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，共有多少种不同的排法？

插空法：

例题：7人站成一排，其中甲乙两人不能相邻，共有多少种不同的排法

解：

点评：

元素不相邻问题，可以先把没有位置要求的元素进行排序，然后再根据题意将不相邻的元素插到已经排序完成的元素之中。

变式：马路上有编号为1，2，3……9的九盏路灯，为节约用电，现要求把其中三盏灯，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有几种？

定序缩倍法：

例题：7人站成一排，其中甲乙丙三人顺序一定，共有多少种不同的排法

解：

点评：

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，即是所得结果。

变式1：10人身高各不相同，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种排法？

变式2：将3个完全相同的红球与5个完全相同的白球排成一排，共有多少种排法？

特殊定位优先法：

例题：1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解：

总共有5个位置，因为老师不站在两端，所以从中间的3个位置选1个，剩下的4位学生全排列。

点评：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

变式：由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复的五位奇数？

多排问题单排法：

例题：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数有几种？

解：

点评：

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段研究

变式1：8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

变式2：10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面对面，有多少种做法？

同元素分配隔板法：

a. 每份至少含有1个元素

例题：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解：

点评：

将n个相同的元素分成m份，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法为

变式：7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法有多少种？

b. 其中一分或几分中可以含有0个元素

例题：10个三好学生名额分到7个班级，有多少种不同分配方案？

解：

点评：

将n个相同的元素分成m份，并未提及每份至少含有一个元素，即可以含有0个元素的情况，这时用“元素数(n)+隔板数(m-1)”为总的元素数，分成4份，所有分法为。

变式：7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，不同放法有多少种？

不同元素平均分配法：

例1：将6本不同的书，平均分成三份的分法有多少种？

解：

点评：

对于平均分堆问题，是与顺序无关的，所以组合数相乘后要除以,其中m表示均分的组数。很多同学不理解为什么要除以组数的阶乘，举个例子，三个不同的苹果，分成三份，总共有几种分法？很显然只有一种，计算式子为，而不是，这样就会比较好理解一些。

变式：将10名同学平均分成5个组，总共有多少种分法？

例2：将6本不同的书，分成三份，一份有4本，另外两份各1本的分法有多少种？

解：

点评：

对于非均分的问题，只需要组合数相乘，如果题目中即含有均分问题又含有非均分问题(如上面例2)，组合数相乘之后只需要除以均分组数的阶乘。

变式：8本不同的书分成三份，其中1份2本，另外两份各3本，有多少种不同的分法？

先选后排法：

例题：将6本不同的书，平均分给3名同学的分法有多少种？

解：

点评：

这类题目属于排列组合的混合问题，遵循的最基本的规则为先选后排，即先分组后排序。

变式1：8本不同的书分给3名同学，其中1名同学2本，另外两人3本，有多少种不同的分法？

变式2：有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法？

变式3：将6本不同的书分给甲乙丙三个人，每人至少一本的分法有多少种？

合理分类法：

例题：某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解：

先从除了甲乙两人以外的8个人中选三人，且甲被选中，现在已经选择了4个人，因为甲不能去银川，所以从另外三个地方选一个，其余三个人全排列。

先从除了甲乙两人以外的8个人中选两人，且甲，乙都被选中，现在已经选择了4个人，4个人全排列之后，要减去甲在银川的（不管乙的位置)，再减去乙在西宁的（不管甲的位置)。那为什么最后还要再加上呢？因为甲在银川的时候，存在乙可能在西宁的情况；同样乙在西宁的时候，存在甲在银川的情况，因此多减了一次甲在银川乙在西宁的情况，因此要再加上。

点评：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计。

变式1：从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

变式2：在一次演唱会上共有10名演员，其中8人能唱歌，5人能跳舞，现将演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，总共有多少种选派的方法。

排除法：

例题：以正方体的顶点为顶点的四面体总共有多少种？

解：

从下图正方体可以看出，同一个面的四个顶点，是不能组成四面体的，要排除，总共有6种可能.

另外从下图正方体还可以看出，对角面上的四个顶点，也是不能组成四面体的，要排除，总共也有6种可能

点评：

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

变式1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？

变式2：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有多少种？