排列组合的知识点汇总---超全!!!
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距高考还有135天
一
分类计数原理(加法原理):
定义:
完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。
本质:
每类方法都能独立的完成这件事,它是独立的,一次性的且每次得到的是最后结果,只需要一种方法就能完成这件事。
分步计数原理(乘法原理):
定义:
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。
本质:
每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事。
排列:
定义:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记
公式:
组合:
定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记
公式:
排列组合的区别与联系:
排列与组合的共同点都是: 从n个不同元素中,任取m个元素,如果交换两个元素的位置对结果产生影响,就是排列问题;反之,如果交换两个元素的位置对结果没有影响,就是组合问题。简言之,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关。
二
枚举法:
例题:设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子,现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?
解:
从5个球中取出2个与2盒子对上号的有
点评:
元素比较少的,又比较复杂的排列组合问题,可以用枚举法得到意想不到的结果。
变式:将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种?
捆绑法:
例题:7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法
解:
点评:
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决,将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
变式:七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,三家是女孩,现将这七个小孩拍成一排照相留念。若三个女孩要站在一起,四个男孩也要站在一起,共有多少种不同的排法?
插空法:
例题:7人站成一排,其中甲乙两人不能相邻,共有多少种不同的排法
解:
点评:
元素不相邻问题,可以先把没有位置要求的元素进行排序,然后再根据题意将不相邻的元素插到已经排序完成的元素之中。
变式:马路上有编号为1,2,3……9的九盏路灯,为节约用电,现要求把其中三盏灯,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯方法有几种?
定序缩倍法:
例题:7人站成一排,其中甲乙丙三人顺序一定,共有多少种不同的排法
解:
点评:
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,即是所得结果。
变式1:10人身高各不相同,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少种排法?
变式2:将3个完全相同的红球与5个完全相同的白球排成一排,共有多少种排法?
特殊定位优先法:
例题:1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
解:
总共有5个位置,因为老师不站在两端,所以从中间的3个位置选1个,剩下的4位学生全排列。
点评:
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
变式:由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复的五位奇数?
多排问题单排法:
例题:6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数有几种?
解:
点评:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段研究
变式1:8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
变式2:10名学生分坐两行,要求面对面坐下,但其中甲乙两位同学不可相邻也不可面对面,有多少种做法?
同元素分配隔板法:
a. 每份至少含有1个元素
例题:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
解:
点评:
将n个相同的元素分成m份,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法为
变式:7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中,每个盒子至少有一个小球的不同放法有多少种?
b. 其中一分或几分中可以含有0个元素
例题:10个三好学生名额分到7个班级,有多少种不同分配方案?
解:
点评:
将n个相同的元素分成m份,并未提及每份至少含有一个元素,即可以含有0个元素的情况,这时用“元素数(n)+隔板数(m-1)”为总的元素数,分成4份,所有分法为
变式:7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中,不同放法有多少种?
不同元素平均分配法:
例1:将6本不同的书,平均分成三份的分法有多少种?
解:
点评:
对于平均分堆问题,是与顺序无关的,所以组合数相乘后要除以
变式:将10名同学平均分成5个组,总共有多少种分法?
例2:将6本不同的书,分成三份,一份有4本,另外两份各1本的分法有多少种?
解:
点评:
对于非均分的问题,只需要组合数相乘,如果题目中即含有均分问题又含有非均分问题(如上面例2),组合数相乘之后只需要除以均分组数的阶乘。
变式:8本不同的书分成三份,其中1份2本,另外两份各3本,有多少种不同的分法?
例题:将6本不同的书,平均分给3名同学的分法有多少种?
解:
点评:
这类题目属于排列组合的混合问题,遵循的最基本的规则为先选后排,即先分组后排序。
变式1:8本不同的书分给3名同学,其中1名同学2本,另外两人3本,有多少种不同的分法?
变式2:有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法?
变式3:将6本不同的书分给甲乙丙三个人,每人至少一本的分法有多少种?
例题:某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
解:
先从除了甲乙两人以外的8个人中选三人,且甲被选中,现在已经选择了4个人,因为甲不能去银川,所以从另外三个地方选一个,其余三个人全排列。
先从除了甲乙两人以外的8个人中选两人,且甲,乙都被选中,现在已经选择了4个人,4个人全排列
点评:
元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计。
变式1:从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
变式2:在一次演唱会上共有10名演员,其中8人能唱歌,5人能跳舞,现将演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,总共有多少种选派的方法。
排除法:
例题:以正方体的顶点为顶点的四面体总共有多少种?
解:
从下图正方体可以看出,同一个面的四个顶点,是不能组成四面体的,要排除,总共有6种可能.
另外从下图正方体还可以看出,对角面上的四个顶点,也是不能组成四面体的,要排除,总共也有6种可能
点评:
在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求.
变式1:四面体的顶点和各棱中点共10个点,从中取4个不共面的点,不同的取法有多少种?
变式2:从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有多少种?