根之美

作者：John Baez & 翻译：李双宇

大约2006年的时候，我的朋友Dan Christensen创造了一张美妙的图片，上面包含了所有次数小于5且整数系数在-4到4之间变化的多项式的所有根。

点开图片可以看的更清楚：二次多项式的根是灰色的，根的平方为青色；根的三次方为红色，根的四次方为黑色。对称的水平轴是实轴，对称的垂直轴是虚轴。中间的大洞以0为中心，旁边最大的洞以±1为中心，并且在±i处也有洞，

你可以在这里看到很多迷人的现象，例如整数系数的多项式的根趋向于避免一致和统一，除非他们直接在这些点上！如果放大，可以看到更多的图案：

可以看到围绕在实轴上的点1周围的空白区域的美丽“羽毛”，围绕exp（iπ/ 3）exp（iπ/ 3）的六边形星，和从这点到1的奇怪的红色曲线，点数等等....

人们应该仔细研究这些现象！我们定义Christensen集合为A，该集合内的元素是阶数为d且整系数从-n到n变化的所有多项式的所有根，很明显，当我们增大n或者d两者中的任意一个时，这个集合都会变大，并且只要阶数大于1，随着n趋向无穷，复杂平面上的点将会变得十分密集。如果固定d，（d大于等于1）且令n趋向无穷，我们会得到所有合理的复杂数字；如果让d，n都趋向无穷，我们会得到所有的代数复杂数字。基于上述图片，当固定n让d趋向无穷时，可能会有很多有趣的推测。

受到上面图片的启发，Sam Derbyshire决定对多项式的一些根进行高分辨率绘图。在一些实验之后，他发现自己最喜欢的多项式是系数为1或-1的，并做了一张阶数在24以内的所有多项式所有根的高分辨率图片，这个是B多项式，有24*B个根，将近4亿个，Mathematica用了4天时间来生成根的坐标，产生大约5千兆字节的数据。然后他使用一些Java程序创建了这个惊人的图片：

着色显示根的密度，从黑色到深红色到黄色到白色，逐渐变小。上图是一个低分辨率版本的原始90兆字节文件，我们可以放大以获取更多详细信息：

注意在我们在单位圆内移动时，在某些根聚集产生的孔和“羽毛状”图案。要查看这些，让我们放大到某些区域，标记如下：

这里有一个孔1的特写：

注意沿实轴的白线。这是因为大多数这些多项式有比实数根有更多的实根。

接下来，这里是在i处的孔：

这是在exp(ipai/4)=(1+I )/

注意根的密度是如何增加的，因为我们越来越接近这一点，但在它的旁边却突然下降。还要注意根的密度的微妙变化模式。

但羽毛状的结构在单位园内移动更加美丽！这是他们在实轴附近看到的，这个图以4/5点为中心：

它们在4/5i处特征上有很大不同：

但是我认为它们在接近（1/2）*exp(i/5)处更加美。

其实这些刚刚展示出来的图片有些神秘，但是Jesse C. McKeown 和 Greg Egan在“285周”中的讨论中发现如何理解这些图片。让我在这里解释一个模式。为什么这个区域靠近（1/2e^i/5）

是不是很像一只恐龙的变形？

你可以通过许多方式创建一条龙。在上面的动画图像中，我们从一个水平直线段（由于某些原因不显示）开始，并重复做同样的事情。也就是说，在每个步骤，我们用两个较短的段相互成直角地替换每个段：

在每一步，我们有一个连续的曲线。出现在无限多步的极限中的龙也是一条连续的曲线。但它是一个空间填充曲线：它有非零区域！

这里是另一个，更相关的方式来创建一个龙。将这两个函数从复平面到自身：

在平面上选择一个点，并让它拟合这两个方程中的任何一个：你可以每次随机选择。无论你做出什么选择，你都会得到一系列的点，它们收敛...并且收敛到龙的一个点！我们可以得到龙的所有点。但这两个公式是从哪里来的？他们有什么特别的？

为了得到我刚刚向你展示的特定龙，我们需要这些特定的函数。它们具有从点0到点1的水平线段的效果，并且将其映射到形成这里最左边所示的简单图片的两个线段：

随着我们反复应用它们，我们获得越来越多的部分点，在这个序列中形成了更加奇特的曲线。

但是如果我们想要的是在平面中某种有趣的点集合，我们不需要使用这些特定的函数。最重要的是，我们的函数是收缩，意味着它们减少点之间的距离。假设我们有两个从平面到自身收缩的f+和f-，然后在平面上有一个独特的封闭和有界集合S，并且满足：

而且，假设我们从平面内的一些点x开始并且不断的带入到f+或／和f-中，采用任何我们喜欢的方式，然后我们可以得到结论这些点会收缩到S集合内。更好的是，S中的每个点都表现为这样的序列的限制。我们甚至可以从同一个x开始。 所有这一切都来自一个约翰·哈钦森提出的著名定理。

“可爱”，你在想。“但是这与其系数都是1或-1的多项式的根有什么关系？

那么，我们可以得到这种类型的多项式通过从数字0开始，并重复应用取决于参数z的这两个函数： 

例如： 

等等。所有这些多项式具有常数项1，从不为-1。但除此之外，我们可以使用这个技巧得到系数为1或-1的所有多项式。所以，我们让他们都达到了一个整体的标志，这足以研究他们的根。

现在，根据z是什么，函数f +和f-将给我们不同的泛化龙集。 我们需要| z | <1，这些函数是收缩映射。现在，根据z是什么，函数f +和f-将给我们不同的泛化龙集。 我们需要| z | <1，这些函数是收缩映射。考虑到上面这些，我们得到一个我上面所说的广义龙集合。 让我们称它为Sz，且这个集合取决于参数z。格雷格·埃根画了一些这些集Sz。 这里有一个看起来像龙的： 

这有一个看起来很像羽毛的

接下来是比较冷酷一点的事实：

在接近点z的复杂区域中，集合SamDerbyshire看起来有一点像标准龙集SZ

你会在单位圆附近看到很多'haze'，这是f +和f不再是收缩映射。在单位圈外，好吧，我不想现在谈论这个！ 但在单位圈内，你应该能够看到我至少大致正确。 例如，如果我们放大在z = 0.372-.542iz = 0.372-.542i附近，我们得到龙：

看起来至少像：

相似的，在点（公式）附近，我们得到这些：

看上去很像：

再次，如果我可以准确地找到点0.8 + 0.2i0.8 + 0.2i放大，它会更有说服力。 但我想我可以说服丹·克里斯滕森为我做这个。

还有很多问题要回答，例如“Sam的图片中间的所有黑色地区怎么样？和“单位圈附近的那些有趣的洞呢？”但最迫切的问题是：

如果你采用集合S和在点M附近缩放，为什么它看起来像广义龙集Z？

答案是由“街上的一个人”发现的，也就是我们的匿名。它与称为Julia-Mandelbrot通信的东西有关。我希望我能够清楚地解释，但我不太明白，以致做一个真正令人信服的工作。所以，我会通过复制Greg Egan的解释蒙混过关。

首先，让我们定义一个Littlewood多项式，其系数都是1或-1。

我们已经看到，如果我们取任何数字z，那么我们得到所有n阶Littlewood多项式下关于z的图像，从点x = 0开始并多次应用这些函数： 

一共n+1次

而且，我们已经看到随着我们一次又一次的不断应用这些函数到x=0的情况下，我们将会得到收敛到广义龙集合Sz中的点的序列。

因此，Sz是通过取数字z并应用到越来越高阶的Littlewood多项式得到的序列的极限集合。

现在，假设0在Sz里。然后有高阶上应用于z的Littlewood多项式非常接近0.我们得到这样的图片： 

其中箭头表示应用于z的不同Littlewood多项式。 如果我们足够放大以致线性近似是好的，我们可以看到在这些多项式下0的反像将看起来像什么：

它看起来一样！ 但这些反转图像只是Littlewood多项式的根。 因此，靠近z的Littlewood多项式的根将看起来像广义龙集合Sz。

正如Egan所说：

但是如果我们抓住所有这些箭头： 

使他们都准确地映射到0 。如果我们在一个足够小的邻域0工作，箭头没有改变很多，当我们移动他们时，强加在箭头尾部的图案看起来和原来的图案很像：

还有很多话要说，但我想我会很快停止。我只想强调，所有这一切都建立在Mandelbrot集和Julia集之间令人难以置信的关系之后。它像这样：

考虑这个函数，这取决于复杂的参数z： 

如果我们固定z，这个函数定义一个从复平面到自身的映射。 我们可以从任何数字x开始，并一遍又一遍地应用这个地图。 我们得到一个数字序列。 有时这个序列射出到无穷远，有时它不射。

另一方面，我们可以从x = 0开始，并绘制数字z的集合，其结果序列不会射到无穷远。 这就是Mandelbrot集。

这里是很酷的关系：在数字zz附近，因为该数字zz，Mandelbrot集趋向于看起来像Julia集。 这在Mandelbrot集合的边界尤其正确。例如，Julia设置为 

看上去像：

和

这是在相同z值下M集中很小一部分，他们惊人的相似！这就是为什么Mandelbrot集是如此复杂。 Julia集已经很复杂。但Mandelbrot集看起来像很多Julia集！这就像一个人的脸的一张大图片由不同的人的面孔的小照片。这是一个伟大的图片说明这一事实。与所有的图片在这里，你可以点击它的更大的视图：

但这个你真的必须点击！在各种z值下，许多小Julia集组成的图片...但它模仿Mandelbrot集。你会注意到Mandelbrot集是一组数字z的Julia集的连接。 那些Julia集中的点是黑色的斑点。 当z离开Mandelbrot集合时，它的Julia集变成黑色，但这是白色的东西。要更好地了解这种现象，请尝试：

David Joyce, Mandelbrot和 Julia 集的探索者，请点击：http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/julia/explorer.html

你可以放大Mandelbrot集合，看到相应的Julia集合在zz的各种值。例如，这里的茱莉亚设置在z =-0.689494949-0.462323232iz = -0.689494949-0.462323232i：

这里有一个小小在这一点附近的Mandelbrot集合：

所以，Mandelbrot集就像一个图解目录的Julia集。类似地，Littlewood多项式的根集（直到给定的程度）类似于广义龙集合的目录。然而，把它变成一个定理将需要我做出精确的许多事情，我不知道怎么做。

更多的可以看：

• Greg     Egan, Littlewood applet. An interactive webpage that lets you explore     regions of the Derbyshire set and compare them to the corresponding     dragons.

• John Baez,     Dan Christensen and Sam Derbyshire, The beauty of roots. (Slides for a talk with lots of pretty pictures     and theorems that aren't on this page!)

• John     Baez, This Week's Finds in Mathematical Physics     (Week 285), n-Category     Café, December 6, 2009. 
      (The post itself is subsumed by this page, but the discussion is     packed with extra delights!)

• John     Baez, The beauty of roots, Azimuth, December 11, 2011. 
      (Ditto.)

• Dan Christensen, Plots of roots of polynomials with     integer coefficients.

• Loki     Jörgenson, Zeros of polynomials with constrained     coefficients and related pictures.

• Xiao-Song     Lin, Zeros     of the Jones polynomial.

• Andrew M.     Odlyzko and B. Poonen, Zeros     of polynomials with 0,1 coefficients, L'Enseignement Math. 39 (1993),     317-348.

• Eric W.     Weisstein, Polynomial roots, from MathWorld.

我的同事萧松林绘制了最多13个交叉点的素数交替节的琼斯多项式的零点，你可以在上面的文件中看到他的图片。你会发现，他的图片中的一些模式只是来自Christensen集的模式…因为琼斯多项式具有整系数。

Odlyzko 和Poonen关于系数在0～1之间多项式所有根证明了一些有趣的事情。如果我们定义一个更加有趣的Christensen集C，该集合是整系数在p和q范围内变化，阶数为d的所有多项式的所有根。Odlyzko 和Poonen令d趋向∞，研究集合D，他们得到了一些已知结论，并且证明了一些新的结论：该集合包含在半平面Re（z）<3/2中，并且包含在环1 /Φ<| z | <Φ中，其中Φ是黄金比率5 /√+ 1）/ 25 + 1）/ 2。事实上他们的陷阱，不只是在这些圈子，而是在两者之间微妙的曲线中。他们还表明，这个集合不是简单的连通，是道路连通。

END

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