科普| 声学材料的一个世纪（中篇）

本文来源：南京大学双创办

四、多孔材料表征算法及理论

题记：

路漫漫其修远兮

——出自《楚辞》

顾名思义，多孔材料是一种包含大量孔隙的材料。从微观上看，多孔材料是由构成其孔隙结构的骨架（skeleton）和充满骨架间孔隙（pore）空间中的流体构成。这样的材料兼具固体和流体的特征，即两相性（diphasic）。

不管是什么材质什么形状的多孔材料，其吸声性能与其密度、厚度、孔隙率和泡孔的大小及均匀性等有关。多孔材料内部具有大量孔径细小且分布均匀的微孔结构，这些微孔结构在材料内部互相连通、彼此贯穿，且微孔均向外敞开，与外界相通，从而使得声波易于进入微孔内而被材料所吸收，正是由于这类微孔结构的存在，使得开孔型多孔材料具有了良好的吸声性能。吸声机理来源于发生在多孔材料内部的能量转化，即声波机械能向热能的转化。

简单来说，当声波入射到开多孔材料的表面时，首先，由于声波产生的振动而引起了材料表面的微孔或间隙内的空气发生运动，导致空气与微孔的孔壁之间产生摩擦，产生了粘滞力，从而使得相当一部分的声能转化为热能，导致声能衰减、反射声减弱以达到吸声的目的；

图15. 多孔材料电子隧道显微照片

其次，由于空气在绝热收缩中升温，在绝热膨胀中降温这一特性导致其发生了热传导作用而使声能衰减，且微孔中的空气和孔壁与纤维之间不断发生热交换所引起的热损失，也使得声能进一步衰减。

早在瑞利爵士的年代，就已经提出了多孔材料吸声机理的最初假设。那时的声学家假定多孔介质的骨架是静止的（Motionless），认为决定吸声的主要因素在于流体，瑞利爵士进一步认为多孔材料中微孔所带来的粘滞性（viscous effect）在吸声中间起到了决定性因素。但是这一理论依然不能真实反映多孔材料吸声性能的实际情况 ，尤其无法解释多孔材料在低频波段的性能。

到了20世纪50年代，Zwikker和Kosten又在此基础上，研究了声波在圆管中的传播，提出了以细管吸声理论。他们认为多孔介质中的流体因空气体积减少而发生改变，其流速在经过不规则截面的孔隙时也发生的剧烈的改变。两位作者最终建立了多孔材料的有效密度（effective density）和有效压缩模量（effective compressibility）理论。

图16. 多孔材料声学理论模型发展历程

这一研究将声学材料的基本方程与流体力学和波动学的方程有机地统一了起来，分别给出了由粘滞性主导的欧拉运动方程和由热力学特性主导的连续性方程。经过变形这两个方程又可以重组为描述声波在自由流体中传播的经典亥姆霍兹方程（Helmholtz’s  Equation）：

其中，Κeq和ρeq为等效密度和等效压缩模量。在不考虑损耗的情况下的自由场传播中，这两个量等同于介质的特征密度和压缩模量。而在等效模型下，它们则是与频率相关的复函数。在部分文献中，这两个变量又被称为动态等效流体密度和动态等效压缩模量。该理论可以通过声阻抗率的变化规律定性确定吸声系数的变化规律。这一理论奠定了后世关于多孔材料定量分析的理论基础。
同样是在1950年代，M.A. Biot在其扎实的流体力学功底之上，高屋建瓴地提出了兼顾流体、固体两相，综合骨架的固体弹性（elasticity）、流体的惯性（inertia）和粘滞性（viscocity）耦合作用的流体饱和多孔弹性材料声学模型（empirical model）。Biot多孔材料声学理论的出现，为系统性研究声波在多孔材料内的传播提出了正确的基本思路和方向。其后在这一理论之上，不同的数学与物理方法得以不断运用，涌现出了以D.L. Johnson、Y. Champoux、J-F. Allard、D. Lafarge为代表的一批杰出人物。他们不断充实和扩展Biot理论的物理模型，提出了新的物理测量手段，逐步验证了Biot理论的可靠性。
当下最常用的声学多孔材料模型就是由领衔创建这一模型的科学家的姓氏首字母命名的JCAL模型（Johnson-Champoux-Allard-Lafarge）。此模型是基于Johnson、Koplik &Dashen对多孔介质内部粘滞性-惯性（visco-inertial）耗散效应的研究，和Champoux &Allard和Lafarge、Lemarinier、Allard&Tarnow对多孔介质内部热耗散效应的研究。
1987年，Johnson-Koplik和Dashen提出了一个半唯象模型来描述具有任意孔隙形状的静止骨架的声学多孔材料的复密度。该等效复密度公式ρ ̃为：
计算中涉及到4个重要参数：以孔隙结构几何形状为依据的φ开口孔隙率（open porosity）和α∞绕曲度（或曲折度）高频极限(high frequency limit of tortuosity)；以等效流体粘滞性-惯性特征为依据的σ静态空气流阻率（static air flow resistivity, （σ=η/K0，K0为静态粘性渗透率（static viscous permeability））和Λ粘性特征长度(viscous characteristic length)。

图17. 长度理论计算和原理示意图
1991年，Champoux和Allard在Johnson等人先前工作的基础上引入了描述多孔介质内部热力学现象的动态体积模量的表达式。在1997年，Lafarge等又引入一个新的参数即静态热渗透系数来描述低频下的热行为之后，最终形成了等效压缩模量K ̃的公式：

其中φ 开口孔隙率和α∞绕曲度高频极限同样起到了重要作用，同时类比于粘-惯性的表达模式，以热交换现象为依据，引入了2个重要的参数：k'静态热渗透率和Λ'热力学特征长度。

图18. 热特征长度理论计算和原理示意图

参数	中文名	物理性质	取值 范围	测量手段
	开口孔隙率	介质内部互相连通的孔隙网络的体积占材料宏观总体积的比例	0到1	气体置换称重法
	绕曲度高频极限	介质内部高频振动的气流所经历的路径与距离长度的比值	1到3	超声透射法
	静态粘性渗透率	介质内部等效粘性流体的面积，描述了等效流体低频粘滞特性		静态流阻率测量法
	静态热渗透率	基于粘性渗透率概念推导而来，描述了等效流体的低频热力学特性。	气体置换+超声测量
	粘性特征长度	孔隙网络内部两孔间连接部位处粘性损耗占主导地位的较小孔隙的尺寸，描述了中高频上的粘性损耗		超声反射法
	热特征长度	孔隙网络内部两孔间连接部位处热交换损耗占主导地位的较大孔隙的尺寸，描述了中高频上的热交换损耗

表格一：静态骨架多孔材料六大特征参数表
这六大参数，表征了静态骨架多孔介质的基本特性，再结合材料的宏观几何形状（厚度等参数），就可以得出具体声学材料的吸声性能。
图19. 传统多孔材料典型吸声系数曲线：不同频段起决定性作用的参数各有不同
然而，作为一种半唯象模型，顾名思义通过六大参数表征的等效动态密度和弹性模量只是在数学上最大程度地拟合了实验测量结果。目前来看，JCA模型是一种足够贴合物理现象的模型，但并不意味这是一种完全准确的物理模型。在低频和高频极限处，得益于对物理现象的足够认识和测量手段的进步，凭借简单适用的数学方法，JCA模型已经能够很好的拟合实验测量结果。而在低频向高频过渡的频段，目前的多孔材料模型并不能完全拟合实验测量结果。而这个过渡频段，就传统多孔材料而言在数百赫兹到数千赫兹之间，是一个对声学性能要求比较高的频段。由此我们可以得出，仅仅使用多孔材料Biot模型参数来检验和鉴定或者设计一种多孔材料并不是最佳的选择。只有综合运用直接测量法和参数表征反演法，才是传统多孔材料特性研究的正途。

五、多孔介质数值模型

题记：

唯天下之静者乃能见微而知著

——出自宋·苏洵《辨奸论》

上文说到了多孔材料Biot模型是一种通过数学拟合得出的半唯象模型。这种研究方法是建立在对传统多孔介质的观察得出的经验之上，并通过数学物理方法进行概括、总结和修正。如果我们展开一点逆向思维，思考这么一个问题：在感知技术超越测量技术的今天，有没有可能直接观察微观结构，并在此基础上直接通过数值模拟的方法推算多孔材料性能的方法呢？或者说我们是否能够人工控制多孔介质的微观结构，来直接涉及多孔材料的性能呢？

答案是肯定的。其中一种常用的方法就是微观-宏观法（Micro-Macro Method），对应的算法叫做均一化算法（Homogenisation）。
在处理复杂介质问题中，我们发现材料的宏观性能是由其微观结构决定的，例如我们在上一章说到的声学多孔材料六大参数。也可以从另一个角度来描述，即复杂介质中的宏观（Macro）物理现象，是其内部微观（Micro）物理现象的总和。在这种思想的指导下，我们很容易得出一个较为简单直白的物理模型。即材料的等效属性是从其内部网络中的单元边界值问题的解析或半解析解得来的。这种模型就是产生于1960年代的有限元法（Finite Element Method）。
联系之前讲到的声学多孔材料的研究，从瑞利开始的声学家都研究了某种微观结构的声学特性，然后试图将这种微观结构的声学特性和宏观多孔材料的声学特性联系起来，以期最终能够彻底地表征声学多孔材料的特性。这种模型虽然简单直白，又合乎常理，但是也带了另一些问题。材料的微观尺度在大多数情况下是其宏观尺度的至少千分之，甚至十万百万分之一。穷尽计算能力，划分十分细小的单元，尽一切可能地精确表征材料的微观结构的工作量过于巨大。就目前人类社会的计算能力而言，是完全不切实际。
如果我们不能穷尽所有微观结构的细节，那么什么样的微观结构才是真正有代表性的。而微观-宏观法，简称微宏法正是在解答了以上两个问题的基础上，利用了有限元、边界元等数值计算工具，凭借近50年来越来越强大的电子计算能力而诞生的复杂介质力学计算工具。
在使用微宏法处理声学问题时，研究者一般会回溯到声学问题的本源，也就是完美气体流体力学与热力学方程组：
连续性方程：
理想气体导热方程：
理想气体状态方程：
应力动态平衡关系：
牛顿流体流变关系：
其中 p为压力变化量，τ为温度变化量，ρ为密度变化量，v为质点振速。压力算子 D=(grad+Tgrad)/2，I为单位矩阵。
进一步地，我们需要给出多孔介质的代表性基元，由此导入由代表性基元几何结构决定的边界条件和基元周期性条件。对于一般的多孔材料，主要采用刚性条件和绝热条件，即基元结构表面质点振速为零，温度变化量为零。
由此我们获得了求解这一微分方程组的基本条件，在此基础上所做出的基于渐进逼近原理的数学推导，是从数学的角度将微观与宏观的物理现象进一步分离，保留表征宏观现象的由0阶渐进展开项和表征微观现象的1阶渐进展开项，忽略所有高阶的变量渐进展开项。如此，前述的五大方程就可以改写成如下形式，其中变量上标括号中的数字代表此变量渐进展开项的阶数：

表格二：完美气体流体力学与热力学方程组一阶渐进展开表达

由此我们可以进一步归类宏观与微观的粘性和热力学问题，借鉴有限元方法中的弱形式思想（weak formulation），对各方程做代表性基元空间和表面上的积分，由此推导出微宏法的数值计算方法。结合现代化的多物理场计算工具，就可以计算得出表征多孔介质声学机理的动态密度函数与动态弹性模量函数。也可以继续推导高频低频渐进展开项，得到Biot模型九大静态参数。

图20. 利用电子显微镜照片将微孔结构抽象化为几何模型

在此基础上，我们可以设想一种新的多孔材料设计手法：首先正向采用微宏法，将现实中存在多孔结构抽象化为简单的几何模型和一组性能参数；然后通过大量的实测数据和数值计算结果对比结果，积累足够多的数据基础架构，运用最新的大数据分析算法，进一步优化多孔介质的半唯象模型，或者更进一步地讲多孔介质模型数据化、矩阵化；得到这一模型以后，再反向使用微宏法，利用多孔介质的大数据库来直接设计材料结构，预测其声学性能，指导材料生产，最终优化声学性能。这一设想已经在声学超构材料的设计中得到了实践。

图21. 仿生小麦秸秆结构，采用微宏法直接设计多孔介质结构

- 未完待续 -

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参考书籍

【1】 Strutt J W, Rayleigh B. The theory of sound[M]. Dover, 1945.
【2】 Zwikker C, Kosten C W. Sound absorbing materials[M]. Elsevier, 1949.【3】 Ingard U. Noise reduction analysis[M]. Jones & Bartlett Publishers, 2009.【4】 Morse P M C, Ingard K U. Theoretical acoustics[M]. Princeton university press, 1986.【5】 Allard J, Atalla N. Propagation of sound in porous media: modelling sound absorbing materials 2e[M]. John Wiley & Sons, 2009.【6】Deymier. Acoustic Metamaterials and Phononic Crystals[M], Springer,2013.【7】 José Sánchez Dehesa, Vicente Cutanda Henríquez. Visco-thermal Effects in Acoustic Metamaterials Based on Local Resonances[M], John Wiley & Sons 2019.

参考文献

【1】 Johnson D. L., Koplik J. and Dashen R., Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media, J. Fluid Mech. 176, 1987, pp. 379-402 【2】 Champoux Y. and Allard J.-F., Dynamic tortuosity and bulk modulus in air-saturated porous media, J. Appl. Phys. 70, 1991, pp. 1975-1979 【3】 Lafarge D., Lemarinier P., Allard J.-F. and Tarnow V., Dynamic compressibility of air in porous structures at audible frequencies, J. Acoust. Soc. Am. 102(4), 1997, pp. 1995-2006 【4】 Propagation models assuming a motionless skeleton, Matlys Labhttp://matelys.com/apmr/PropagationModels/MotionlessSkeleton/index.html【5】 Norris A N. Acoustic cloaking theory[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2008, 464(2097): 2411-2434.【6】 Jiménez N, Huang W, Romero-García V, et al. Ultra-thin metamaterial for perfect and quasi-omnidirectional sound absorption[J]. Applied Physics Letters, 2016, 109(12): 121902.【7】 Jiménez N, Romero-García V, Pagneux V, et al. Rainbow-trapping absorbers: Broadband, perfect and asymmetric sound absorption by subwavelength panels for transmission problems[J]. Scientific reports, 2017, 7(1): 1-12.【8】 Zigoneanu L, Popa B I, Cummer S A. Three-dimensional broadband omnidirectional acoustic ground cloak[J]. Nature materials, 2014, 13(4): 352-355.【9】 Huang W , Schwan L , V. Romero-García, et al. 3D-printed sound absorbing metafluid inspired by cereal straws[J]. Scientific Reports, 2019, 9(1):8496.【10】 Chevillotte F , Perrot C , Guillon E . A direct link between microstructure and acoustical macro-behavior of real double porosity foams[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2013, 134(6):4681.【11】 Perrot C , Chevillotte F , Panneton R . Bottom-up approach for microstructure optimization of sound absorbing materials[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2008, 124(2):940.【12】 Lu M H , Feng L , Chen Y F . Phononic crystals and acoustic metamaterials[J]. Materials Today, 2009, 12(12):34-42.【13】 He C , Yu S Y , Ge H , et al. Three-dimensional topological acoustic crystals with pseudospin-valley coupled saddle surface states[J]. Nature Communications, 2018, 9(1).【14】 He C , Yu S Y , Wang H , et al. Hybrid Acoustic Topological Insulator in Three Dimensions [J]. Phys. Rev. Lett. 123, 195503 (2019).

感谢现代工程与应用科学学院黄唯纯博士、解龙翔博士、卢明辉教授供稿。

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