湖南大学刘建军课题组：双点位蜂窝晶格光子晶体中的脆弱拓扑

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撰稿|由课题组供稿

导读

近日，湖南大学刘建军课题组提出了具有径向及切向可调自由度的双点位蜂窝晶格（double-site honeycomb lattice, DSHL）光子晶体（photonic crystal, PC），并利用DSHL PC的高自由度巧妙地将二维平面分割成为与拓扑性质相关的两部分。该工作首先计算了不同结构参数下DSHL PC的能带结构，统计了DSHL PC发生拓扑相变的规律（相图）。然后，通过计算体带的Wilson-loop本征值证明了两组非平庸DSHL PC脆弱拓扑的物理特性。最后，在同一体态带隙中成功实现了拓扑边界态与两组角态。DSHL PC为研究拓扑光子学及其器件设计与应用提供了良好的平台，具有广泛的应用前景。相关成果以“Fragile topology in double-site honeycomb lattice photonic crystal”为题于2021年8月9日在线发表于光学传统顶级期刊《Optics Letters》。湖南大学本科生魏益洲为论文的第一作者，湖南大学刘建军副教授为论文的通讯作者，湖南大学项元江教授参与了论文的讨论。

研究背景

目前，基于C₆对称性实现光量子自旋霍尔效应的方案主要包括：拉伸压缩散射子间距，改变内外层散射子半径，构建特殊形状散射子等，但这些方案的二维空间自由度是有限的，且其中大多数方案很难根据原胞结构直观判断出对应PC的拓扑性质。在体态带隙中实现一组角态已被大量研究，但在同一体态带隙中实现两组角态尚待探索。另外，目前实现脆弱拓扑的许多方案基于构建特殊形状散射子，这在制作过程中需用到复杂的制备加工手段，不便于实际应用。

创新研究

针对上述问题，刘建军课题组提出利用简单的双电介质柱（double dielectric rods, DDR）（电介质柱即为散射子）作为整体旋转六次得到DSHL 原胞，然后将其进行三角晶格阵列得到双点位蜂窝晶格光子晶体（DSHL PC）。通过在径向及切向上操作DDR，使DSHL PC发生能带反转从而实现拓扑相变。大量计算分析DSHL PC的拓扑性质与其结构组合参数(l,h,r)的关系，发现DSHL PC拓扑性质与电介质柱半径近似无关而与电介质柱位置密切相关，对应关系具有规律性且可总结为简单的相图（如图 2(c)所示）。该相图可为该领域的研究人员提供重要参考，研究人员可根据自己所需PC的工作频率范围结合图2(c)、2(e)、2(f)选择合适的结构组合参数(l,h,r)构建PC。该工作通过计算两组依据相图构建的PC的万尼尔中心的位置证明了其脆弱拓扑特性，然后利用其脆弱拓扑特性构建了两组具有带隙的边界态结构，并选择其中一组结构利用其边界态带隙及边界态与体态之间的带隙同时实现了两组角态，这在构建可实现特殊性能的光学器件方面具有重要潜在应用。同时，DSHL PC的高可调自由度意味着可实现丰富的能带结构，且散射子为简单的圆形电介质柱。因此，可以认为DSHL PC具有广泛的应用前景。

图文速览

图1 (a) 光子晶体模型图，晶格常数a₀=1μm，三角晶格基矢a₁、a₂；(b) 图(a)中原胞的放大图，电介质柱1（rod₁）与2（rod₂）圆心的距离为2l（定义为：两电介质柱在原胞中的切向距离），两电介质柱圆心连线的中点到原胞中心的距离为h（定义为：双电介质柱离原胞中心的径向距离），两电介质柱半径均为r，且介电常数ε_r=11.7，背景为空气；(c) 12个电介质柱构成六边形原胞的第一布里渊区(BZ)被重构成菱形，倒格矢的基矢k₁、k₂。

图2 (a) DSHL模型中半径为r的电介质柱圆心位置与拓扑性质关系图：电介质柱圆心位于红色及蓝色区域分别对应拓扑平庸态及拓扑非平庸态，白色区域是圆心无法取到的区域（避免电介质柱重叠）。(b) 图2(a)虚线框的放大图：三角形ABC是电介质柱的位置范围，当电介质柱圆心位于曲线DE（即红、蓝色区域的边界线）上时，Γ点处的p带与d带发生简并。(c) 图2(a)中对应关系的总结与推广：对于不同r的电介质柱不重叠时，圆心位于红色与蓝色区域分别对应拓扑平庸态与拓扑非平庸态；(d) 图2(c)虚线框内的放大图：由图2(e)可知不同r时的曲线DE分布十分紧密，也即DSHL方案中拓扑性质与r近似无关而仅与l、h密切相关，因此利用拟合曲线D'E'分割三角形A'B'C'红蓝两区域即可对 原胞拓扑性质进行较精确判断；(e) Γ点处p带与d带简并时的结构组合参数(l,h,r)及拟合结果（曲线D′E′，绿色线）；(f) 结合图2(e)，Γ点处p带与d带简并时结构组合参数(l,h,r)对应的频率。

图3 不同结构组合参数(l,h,r)PC的能带结构：(a) (6.5,33,5)；(b) (13,33,5)；(c) (7,80/3,6)；(d) (15,40,6)。红色、蓝色曲线分别标注了p-type、d-type能带，灰色矩形表示带隙，插图原胞用红蓝色标注出电介质柱位置与图2(c)的对应关系。Γ点电场E_z分布：(e)TTS₁；(f) TNS₁；(g) TTS₂；(h) TNS₂。万尼尔中心位置：(i) TTS₁；(j) TNS₁；(k)与(l) TTS₂；(m) TNS₂。

图4 投影能带图：(a) 左、右侧结构分别为可产生TTS₁、TNS₁的超晶胞（左右两侧均含18个原胞）；(b) 左、右侧结构分别为可产生TTS₂、TNS₂的超晶胞（左右两侧均含18个原胞）；红色曲线、灰色区域分别表示边界态能带、带隙，箭头表示各点电场自旋方向。(c) 图4(a)-4(b)中A、B、C、D四点表示长条状超晶胞的电场分布及其坡印廷矢量的局部放大图。两组U字型波导设置时（S₊：右旋极化点源，S_-：左旋极化点源）的单向传输：(d) S₊；(e) S_-；(f) S₊；(g) S_-。

图5 产生TTS₂、TNS₂ 的PC界面处出现多维边界态：(a) 六边形箱形结构(右下角插图所示：由产生TTS₂的 PC包围产生TNS₂的 PC)的解数量；红色、蓝色及绿色分别表示角态、边界态及体态所对应的频率范围区域。图5(a)中选定两频率点c₁、c₂，箱形结构中参数化扫描的模式图（上侧）及设置点源后的电场图（下侧）：(b) c₁; (c) c₂。

总结

该工作提出了具有二维可调自由度的DSHL原胞及构建了DSHL PC, 并通过在径向及切向上操作其DDR实现了量子自旋霍尔效应，且统计了DSHL PC发生拓扑相变的规律（相图）。采用Wilson-loop方法计算了DSHL PC体带的万尼尔中心的位置并证明了其脆弱拓扑性质。最终，在U字型波导及六边形箱形结构中分别实现了位于同一体态带隙中的单向传输及两组角态。

该工作得到了国家自然科学基金、湖南省自然科学基金、中央高校基本科研业务费及大学生创新创业训练计划创新训练项目的支持。

Y. Wei, B. Yan, Y. Peng, A. Shi, D. Zhao, R. Peng, Y. Xiang, and J. Liu*, “Fragile topology in double-site honeycomb lattice photonic crystal,” Optics Letters, 46(16): 3941–3944 (2021).

https://www.osapublishing.org/ol/fulltext.cfm?uri=ol-46-16-3941&id=456005

DOI: https://doi.org/10.1364/OL.434502

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