这道美国高考数学题，30万人只有3个人做对，连出题人都做错了

本文转载自公众号“把科学带回家”（ID：steamforkids）

撰文 七君

距离高考还有30天，今天给大家来一道提神醒脑的美国高考送命题。

1982年5月1日的美国高考数学卷有这样的一道题——

咱们先审题，这道题是说，小圆的半径只有大圆的三分之一；如果小圆绕着大圆滚回原位，那么它转了多少圈？

备选项有5个，这个不用翻译大家也能看懂。

先不说答案，你会选什么？

相信很多人会选 B，这道车祸现场题的出题人也是这么考虑的。

如果把大圆圆周拉直，那么它的长度应该是小圆圆周的3倍，所以小圆绕着它会滚3圈对吗？

并不。

不信的话，我们动手实操一下。

大家看，小圆绕了大圆四分之一的时候，已经转了一圈了——

绕大圆一整圈的话，实际上小圆转了4圈。所以正确答案是4，并不在任何一个选项里。

根据出卷方美国大学理事会（College Board）的事后声明，这场美国高考出卷方的答案是错的，而在当时参与这场考试的30万考生里，只有3个考生给出了正确答案。

最后，明明是美国大学理事会做错了，除了那三人，所有人的分数都被扣回去了。

纽约时报1982年5月25日对这次高考数学题出错事件的报道（白框）

30万人里只有3人做对，其实是因为这个现象太不可思议了，因此它在数学上也得到了赐名——硬币悖论（coin paradox）。

如果是用两个半径一模一样的圆来玩的话，我们发现，其中一个绕另一个公转了半圈的时候，实际上它已经自转了360度了。如果绕另一个圆公转一整周，那么它自转了720度，也就是2圈。

这种题有没有套路解法呢？其实是有的，答案就是：公转的圆的圆心画出的圆的半径和这个圆的半径之比。在下图里，就是绿色的这个圆的半径和小圆的半径之比。

以1982年那道高考题为例，公转的圆心的轨迹是个圆，而且它的半径是小圆的4倍，所以是转4周。

如果两个圆直径一样，公转的圆心绕过的圆形轨迹的半径是它的2倍，所以是转2圈。

所以硬币悖论到底是怎么产生的呢？

大家来画重点了，硬币悖论的本质，在于公转的圆的每一个点画出的路径并不是圆形，而是腰子的形状——肾形线。

肾形线（红色）

如果两个圆半径相等，那么轨迹就是另外的器官——心脏线。孔子曰过，根据看问题的角度，这种线也可以看成屁股线。

心脏线（蓝色）

（互联注：能看清楚转了两圈吗？红圆在最右侧和最左侧时，蓝点都是在左侧，所以实际转了两圈）

其实，解硬币悖论的思路也可以用来解答亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊倒了许多人的悖论。

在《论力学》（Mechanica）这本书中，问题很多的亚里士多德给大家出了这样一个问题：

一个半径为 R 轮子在地上滚一周，在没有发生滑动摩擦的情况下，轮子上每一个点行走的距离都是 2πR 对吧？

这个轮子可以看作是很多小轮子一个一个套娃套出来的。小轮子相对大轮子也没有发生滑动摩擦，大轮子滚一周，小轮子也滚一周。可是，小轮子的半径 r 明明比大轮子小啊，为什么小轮子上任意一点的行走距离也是 2πR 呢？

这个悖论也被称为亚里士多德饭桶圆桶悖论（Aristotle's wheel paradox）。两千年来，这道题成了众多世界驰名理科生的送命题。

实际上，和直觉不一样，大圆上的每一个点行走的路径长度并不是2πR，而是大于2πR，画出来是这样的线条，头秃吧。

这个线叫做摆线。

同理，小圆上的每一点画出来的轨迹也不是直线，也是摆线，只不过小圆的摆线长度比大圆的摆线要短，因为圆滚一周，摆线长度是半径的8倍。

亚里士多德的这个悖论还可以得出集合论中的一个推论：不管2段线段各自有多长，它们所拥有的点的数量都是一样的；任何一个线段上的任何一点，都可以在另一个线段上找到对应物。

（互联注：将线段长的A做成外圆，短的B做成同心内圆，滚动一周后，大圆的每个点都对应滚动过的线段,其长度就是A的长度，这个很容易理解吧，同时小圆的每个点也对应，长度为A的一条线段，也就是，A和B的点恰好可以一一对应）

这个推论放到整数里也是成立的：所有偶数的数量等于所有整数的数量。

话说回来，其实在生活中屁股线还挺常见的。

相信你见过圆形杯子里液面的这种柯基臀部形状的反射光斑吧——

圆锥形杯子里液面的心脏线

它就是屁股线的形状。这是因为，当入射光和圆锥斜边，也就是杯壁平行时，圆锥的回光线（一束光射到曲面上，反射回来的线条）就是屁股线。

在液面，入射光在锥形杯壁的反射光可被看作点光源，它会形成新心脏线形状的回光线。

互联杂谈后记：

心脏线还有一个哀伤的故事：

Christine是十七世纪时瑞典的一位公主，她美丽善良，而且很聪明，尤其很喜欢数学。有一天她换上了便服去王宫外面，路上看到很多乞丐，其中有一个很特别，他不主动请求过路人施舍，而是安静地蹲在地上专心研究数学问题。那个人并不知道站在他眼前的小姐就是公主，只是很惊讶于这位年轻小姐言谈之间显露出来的数学才华，便很高兴地和Christine交谈起来。Christine公主这才知道，他原本是一个数学家，可惜因为某些原因在法国做数学不得志，穷困落魄，最后流浪到瑞典来的。于是Christine公主把这个数学家请到王宫里做她的数学老师，两个人一起讨论数学问题，一起谈天说地，日久天长，两个人就这样沉浸在只属于他们两个人的数学世界和爱情世界里，很幸福，很快乐。

但是Christine的父亲知道了女儿恋爱的事。这个固执的国王根本不把数学和数学家放在眼里，他觉得那个法国小子配不上自己的女儿，于是强硬地拆散他们，把数学家驱散出境，永远不许他迈进自己的国家一步，还扣压了之后他写给公主的所有的信……爱人离开之后的杳无音讯，使Christine变得沉默寡言，不再喜欢和任何人说话……因为这个世界上可以和她沟通讨论的只有那个人啊！

那个人回到法国后感染上了黑死病，即将死去。他在临死前给他的公主，他的爱人，Christine，寄出了第十三封信，也是最后一封。这一次国王拆了信却看不懂他写的是什么。交给大臣们去看，大臣们也看不懂。请了很多数学家来看，还是看不懂。最后国王没办法，只好把信交还给了Christine。

Christine打开她的爱人留给她的最后的信，发现上面只有一个简单的数学式：r = a(1-sinθ)。

是的，别人看不懂这是什么，可是她知道！那是他们以前一起讨论过的二维坐标呀。用代数来表示平面的几何坐标，这个从来没有人研究过的数学问题，全世界只有那个人和Christine知道，这是他和她之间的秘密。

于是她找出纸和笔，按照数学式画起图来……这是一颗心的形状，后来人们就把它叫做心脏线。他还爱着她！他直到死都还爱着她。她知道。全世界只有她知道。

一直以来，人们以为这位用心脏线传情的人就是笛卡尔，然而，据考证，笛卡尔于1649年冬，笛卡尔应瑞典女王克里斯蒂安（也就是上文的Christine）的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课(女王已经登基，笛卡尔也并没有遭到驱逐）。1650年初患肺炎抱病不起，同年二月病逝于瑞典(不是在法国死于黑死病）。由此可见，故事中的数学家并非笛卡尔，要么另有其人，要么，这个故事只是美丽的故事。

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