为什么短期平均成本曲线并不总是在其最低点与长期平均成本曲线相切？
杨奇明，2022/5/13
Part1背景
在讲授（第22章）“成本曲线”时，一个重要的结论是“长期平均成本曲线是短期平均成本曲线的包络线。”（如下图所示）来源：哈尔·R.范里安，《微观经济学：现代观点》，第九版。当然，我们可以严密地论证长期平均成本曲线与短期平均成本曲线有如下关系：在每一个产量水平上，都有一条短期平均成本曲线与长期平均成本曲线相切。在这里，我们用一个例子来做阐述，记短期内固定的要素投入为X。对于A这条短期平均成本曲线，对应的X=a。那么，我们总是能够找到一个产量（比如y=y*），在这个产量上，X在长期内最优的取值刚好等于a，于是在这个产量水平上，短期平均成本=长期平均成本。在图上就表现为A这条短期平均成本曲线与长期平均成本曲线相切于y=y*这个位置。Part2问题
课后有同学提出了这样一个问题，就是“为什么不是每一条短期平均成本曲线都与长期平均成本曲线相切在前者的最低点”？其实，这个问题并非这位同学“独创”，在另外一本“更新锐”的中级微观经济学教材——内契巴的《中级微观经济学——直觉思维与数理方法》——中，这个问题是由作者提出来的，具体表述如下：“练习13 A.7* 一个教材的作者（不是我！）曾经告诉他的出版商去描绘一个像图13-2（f）那样的图，并解释说他希望与不同水平的固定资本相关联的每个短期平均支出曲线都与U形的长期平均成本曲线相切于最低点。作图的艺术家（对经济学一无所知）回到作者跟前不好意思地告诉他说这样一个图在逻辑上画不出来。”来源：托马斯·J·内契巴，《中级微观经济学：直觉思维与数理方法（上册）》，中译版，第405页。
来源：托马斯·J·内契巴，《中级微观经济学：直觉思维与数理方法（上册）》，中译版，第404页。内契巴在这里提出来的这个问题（练习），与这位学生问的问题是完全一致的。并且在他给出的图13-2中，除了上面提出问题时引用的图13-2-f之外，还有一张图13-2-c中，就实现了每一条短期平均成本曲线都与长期平均成本曲线相切在前者的最低点这一目标，但是这张图的前提是，这个生产函数的规模报酬不变！换句话说，如果生产函数规模报酬不变，那么的确每一条短期平均成本曲线都与长期平均成本曲线相切在前者的最低点。好了，现在的问题其实可以进一步聚焦为，为什么只有在规模报酬不变的情况下，才是每一条短期平均成本曲线都与长期平均成本曲线相切在前者的最低点？Part3问题的解答
正如我在上文引出问题时提到过的，事实上，如果生产函数是规模报酬不变的，那么的确每一条短期平均成本曲线都与长期平均成本曲线相切在前者的最低点，其逻辑如下：（1）首先，对于规模报酬不变的生产函数，其长期平均成本是不变的，也就是长期平均成本是一条水平线（如内契巴的图13-2-c所示），而对应的长期边际成本曲线与其重叠。其实在范里安的（第23章）“厂商供给”中的最后一个小节（中文第九版第294页）也有提到，规模报酬不变时，平均成本不变，长期边际成本曲线与长期平均成本曲线重合。也就是说，此时，对任意的产量y，长期边际成本=长期平均成本。关于为什么规模报酬不变时，长期平均成本不变？这个很好理解。根据定义，如果规模报酬不变，那么当所有要素投入量翻一番（由于要素价格外生给定，其实也就是成本翻一番）时，产量也翻一番，成本和产量以相同的比例变动，当然平均成本保持不变（在这里，AC(y)=C(y)/y，分子分母都变成2倍，结果不变）。关于长期边际成本不变且等于长期平均成本，也很好理解。第一单位产量，边际成本=平均成本，这是边际成本的定义所决定的。接下来随着产量增加，保证平均成本不增加的前提是边际成本也保持不变，这也是边际成本与平均成本之间的关系所决定的。（2）其次，沿着上面的例子，我们仍然记在y=y*时与长期平均成本曲线相切的短期平均成本曲线为A，并记y=y*时，A上的短期平均成本为SAC(y*)，短期边际成本为SMC（y*）；相应地，长期平均成本为LAC(y*)，长期边际成本为LMC(y*)。好了，我们知道，因为相切，有SAC(y*)= LAC(y*)，并且LMC(y*)= SMC（y* ）。而如果规模报酬不变，又有LAC(y*)= LMC(y*)，那么必然是SAC(y*)= SMC（y*），请问，在什么样的情况下有SAC(y*)= SMC（y*）？我们已经学过，在短期，边际成本曲线向右上方倾斜，它“先后”穿过平均可变成本的最低点和平均总成本的最低点。也就是说，当y*是平均总成本曲线的最低点时，才有SAC(y*)= SMC（y*）。这也就是，短期平均成本曲线A与长期平均成本曲线相切在最低点。这里我们可以得到这个推论，关键就是有LAC(y*)= LMC(y*)，而这来自规模报酬不变的假设。反过来说，只有在规模报酬不变的情况下，才有每一条短期平均成本曲线，总是与长期平均成本曲线相切在其最低点。正如下图右上角panel（c）所示。最后，如上图所示，如果不是规模报酬不变，当然就不是相切于每一条短期平均成本曲线的最低点了。这里我们留下了一个问题，图13-2中，第二排长期平均成本曲线，是先递减后递增，代表的是规模报酬递减，还是规模报酬递增呢？我们将在下一篇推文中对其进行解释。