第14届数学竞赛补赛模拟题（一）参考解答

近期我出了三套模拟题，难度一般。见如下链接

第14届数学竞赛补赛模拟题（一）
第14届数学竞赛补赛模拟题（二）
第14届数学竞赛补赛模拟题（三）

这次主要更新下第一套解答，后两套降低了难度。也希望我的解答能对你有所帮助，谢谢大家一直以来的支持。

对于考研的同学可以下载这本书考前用用，写得很不错，下载链接如下。另外在之后我会出一些考研数学相关的模拟题。

链接：https://pan.baidu.com/s/1Pe7TCHvpL4f09eb29lRT6A?pwd=8181
提取码：8181

1. 计算极限

解. 对 充分小, 有

即

所以

由于

因此

2. 利用幂级数求级数的和.

解. 考虑幂级数 ，收敛半径 ， 且对 ，级数 收 敛. 故

对任意的，令，则

即而

因此

3. 计算
   （1）
   （2）修改如下

解. (1) 利用"区间再现"公式得

即

（2）对于极限有为常数，利用迫敛则可得

而由切比雪夫不等式得到

4. 设 ，且满足求幂级数 的和函数 .

解. 由，可得

故

5. 若对 且 充分小，存在唯一的 使得则有 .

解. 为了计算 , 有:

因此

由此得

即

因此

故.

6. 设 且 。设 这里 为 的整数部分。证明: 若 ，则级数 发散；若 且 时级数 收敛.

证明. 对，令

那么

假设 并估计 有

因此

（1）若 时 ，则 ，根据 Cauchy 收敛准则及 是级数 的一段相邻接的项，故级数 发散.

（2）若 时，则 。假设

显然严格单调递减，且可估计到，存在常数 ，充分大，使得

因此当 且 时，级数 收敛，从而 收敛.

由于 单调下降趋于 0 ，故交错级数 收敛. 从而级数

也收敛，可知级数 收敛.

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