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01
百分数
【税率、利息、折扣、成数】
一、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
百分数也叫百分率或百分比,百分数通常用“%”表示。
二、分数与百分数比较:
不同点 | 相同点 | |
分 数 | 可以表示具体数量,可以有单位名称 | 表示两个数之间的关系 |
百分数 | 不可以表示具体数量,不可以有单位名称 |
三、分数、小数、百分数的互化。
(1)把分数化成小数,用分数的分子除以分母。
(2)把小数化成分数,先改写成分母是10、100、1000……的分数,再约分。
(3)把小数化成百分数,先把小数点向右移动两位,然后添上百分号。
(4)把百分数化成小数,先去掉百分号,然后把小数点向左移动两位。
(5)把分数化成百分数,先把分数化成小数(除不尽时通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(6)把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
四、熟记常用三数的互化。
五、
1、出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。
2、合格率表示合格件数占总件数的百分之几。
3、成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。
六、求一个数比另一个数多百分之几,就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。
七、
1、多的÷“1”=多百分之几
2、少的÷“1”= 少百分之几
八、应得利息是税前利息,实得利息是税后利息。
九、利息 = 本金 × 利率 × 时间
十、应得利息 -利息税 = 实得利息
十一、几折表示十分之几,表示百分之几十;几几折表示十分之几点几,表示百分之几十几。
十二、
1、原价×折扣=现价
2、现价÷原价=折扣
3、现价÷折扣=原价
十三、几成表示十分之几表示百分之几十;几成几表示十分之几点几,表示百分之几十几。
2因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】
一、4 × 3 = 12,12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
二、一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。
三、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数因数的个数是有限的。
四、
5的倍数:个位上的数是5或0。
2的倍数:个位上的数是2、4、6、8或0。2的倍数都是双数。
3的倍数:各位上数的和一定是3的倍数。
五、是2的倍数的数叫做偶数。不是2的倍数的数叫做奇数。
六、一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数就叫做素数(或质数)。
七、一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数就叫做合数。
八、在1—20这些数中: (1既不是素数,也不是合数)
奇数:1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。
偶数:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
素数:2、3、5、7、11、13、17、19。(共8个,和为77。)
合数:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。(共11个,和为132。)
九、最小的奇数是1,最小的偶数是0,最小的素数是2,最小的合数是4。
十、如果两个数是倍数关系,则大数是最小公倍数,小数是最大公因数。
十一、如果两个数只有公因数1,则最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
数的运算
计算法则
【整数、小数、分数】
一、计算整数加、减法要把相同数位对齐,从低位算起。
二、计算小数加、减法要把小数点对齐,从低位算起。
三、小数乘法:
1、先按整数乘法算出积是多少,看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
2、注意:在积里点小数点时,位数不够的,要在前面用0补足。
小数除法
1、商的小数点要和被除数的小数点对齐;
2、有余数时,要在后面添0,继续往下除;
3、个位不够商1时,要在商的整数部分写0,点上小数点,再继续除。
4、把除数转化成整数时,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也要向右移动几位。
5、当被除数的小数位数少于除数的小数位数时,要在被除数的末尾用0补足。
五、一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位……
六、一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……
七、分数加、减法:1同分母分数相加减,把分子相加减,分母不变。2异分母分数相加减,要先通分化成同分母分数,然后再相加减。
八、分数大小的比较:1同分母分数相比较,分子大的大,分子小的小。2异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
九、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
十、甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
四则运算关系
加法 | 一个加数 = 和-另一个加数 |
减法 | 被减数 = 差 + 减数 减数 = 被减数 - 差 |
乘法 | 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 |
除法 | 被除数 = 商 × 除数 除数 = 被除数 ÷ 商 |
两个规律
一、除法的商不变规律:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
二、乘法的积不变规律:如果一个因数乘几,另一个因数则除以几,那么它们的积不变。
简便计算
一、运算定律:
运算定律 | 用字母表示 |
加法交换律 | a+b=b+a |
加法结合律 | (a+b)+c=a+(b+c) |
乘法交换律 | a×b=b×a |
乘法结合律 | (a×b)×c=a×(b×c) |
乘法分配律 | (a+b)×c=a×c+b×c |
减法运算规律 | a-b-c=a-(b+c) |
除法运算规律 | a÷b÷c=a÷(b×c) |
二、乘、除法的互化。(小技巧:符号是相反的;两个数相乘得“1”。)
(1)A÷0.1=A×10 (2)A×0.1=A÷10 | (7)A÷0.01=A×100; (8)A×0.01=A÷100 |
(3)A÷0.2=A×5 (4)A×0.2=A÷5 | (9)A÷0.25=A×4 (10)A×0.25=A÷4 |
(5)A÷0.5=A×2 (6)A×0.5=A÷2 | (11)A÷0.125=A×8 (12)A×0.125=A÷8 |
三、求近似数的方法。
①四舍五入法。②进一法。 ③去尾法。
四、积与因数、商与被除数的大小比较:
第2个因数>1,积>第1个因数; 第2个因数=1,积=第1个因数; 第2个因数<1,积<第1个因数。 | 除数>1,商<被除数; 除数=1,商=被除数; 除数<1,商>被除数; |
数量关系
单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 | 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 |
速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 | 速度和×相遇时间=路程 路程÷相遇时间=速度和 路程÷速度和=相遇时间 |
式与方程
用字母表示数
一、在一个含有字母的式子里,数字和字母、字母和字母相乘时,中间的乘号可以记作“· ”,也可以省略不写。
在省略数字与字母之间的乘号时,要把数字写在字母的前面。
二、2a与a2意义不同:
2a表示两个a相加,a2表示两个a相乘。即:2a=a+a,a2= a×a。
三、用字母表示数:
①用字母表示任意数:如X=4 a=6
②用字母表示常见的数量关系:如s=vt
③用字母表示运算定律:如a+b=b+a
④用字母表示计算公式:S=ah
方程与等式
一、含有未知数的等式叫做方程。
二、使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
三、求方程的解的过程,叫做解方程。
四、方程和等式的联系与区别:
方 程 | 等 式 | |
联 系 | 方程一定是等式,等式不一定是方程 | |
区 别 | 含有未知数 | 不一定含有未知数 |
五、等式的基本性质(一):
等式两边同时加上(或减去)一个相同的数,所得结果仍然是等式。
六、等式的基本性质(二):
等式两边同时乘(或除以)一个不等于零的数,所得结果仍然是等式。
七、列方程解应用题的一般步骤:
①弄清题意,找出未知数并用X表示。
②找出应用题中数量间的相等关系,并列出方程。
③求出方程的解。
④检验或验算,写出答案。
正比例与反比例
比和比例
一、比和比例的联系与区别:
比 与 比 例 的 区 别 | 1、意义不同 | 比的意义 | 两个数相除又叫做两个数的比。 |
比例的意义 | 表示两个比相等的式子叫做比例。 | ||
2、名称不同 | 比的名称 | 两点读作比,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。 | |
比例的名称 | 组成比例的四个数叫做比例的项,两端的两项叫做比例的的外项,中间的两项叫做比例的内项。 | ||
3、性质不同 | 比的性质 | 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变。 | |
比例的性质 | 在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。 | ||
4、应用不同 | 应用比的意义 | 求比值。 | |
应用比的性质 | 化简比。 | ||
应用比例的意义 | 判断两个不能否组成比例。 | ||
应用比例的性质 | 不但可以判断两个比能否组成比例,还可以解比例。 |
二、比同分数、除法的联系与区别:
比 | 分数 | 除法 | |
联 系 | 前项 | 分子 | 被除数 |
比号 | 分数线 | 除号 | |
后项 | 分母 | 除数 | |
比值 | 分数值 | 商 | |
比的基本性质 | 分数的基本性质 | 除法的商不变性质 | |
区 别 | 比表示两个数之间的关系。 | 分数表示一个数。 | 除法表示一种运算。 |
三、求比值与化简比的区别:
一 般 方 法 | 结 果 | |
求比值 | 根据比值的意义,用前项除以后项。 | 是一个数。可以是整数、小数或分数。 |
化简比 | 根据比的基本性质,把比的前项和后项都乘或除以相同的数(零除外)。 | 是一个比。它的前项和后项都是整数,并且是互质数。 |
四、化简比:
①整数比的化简方法是:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
②小数比的化简方法是:先把小数比化成整数比,再按整数比化简方法化简。
③分数比的化简方法是:用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。
五、比例尺:我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。
六、比例尺=图上距离︰实际距离 比例尺 = 图上距离 / 实际距离
正比例、反比例
一、正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。
二、反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。
三、正比例与反比例的区别:
正 比 例 | 反 比 例 | |
相 同 点 | 都有两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。 | |
不 同 点 | 商一定 y/x= k(一定) | 积一定 x×y=k(一定) |
图形的认识、测量
量的计量
一、长度单位是用来测量物体的长度的。
常用的长度单位有:千米、米、分米、厘米、毫米。
二、长度单位:
1千米=1000米 | 1米=10分米 |
1分米=10厘米 | 1厘米=10毫米 |
1米=100厘米 | 1米=1000毫米 |
三、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。
常用面积单位:平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
四、测量和计算土地面积,通常用公顷作单位。
边长100米的正方形土地,面积是1公顷。
五、测量和计算大面积的土地,通常用平方千米作单位。
边长1000米的正方形土地,面积是1平方千米。
六、面积单位:(100)
1平方千米=100公顷 | 1公顷=10000平方米 |
1平方米=100平方分米 | 1平方分米=100平方厘米 |
七、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。
常用的体积单位有:立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升)。
八、体积单位:(1000)
1立方米=1000立方分米 | 1立方分米=1000立方厘米 |
1升=1000毫升 |
九、常用的质量单位有:吨、千克、克。
十、质量单位:
1吨=1000千克 | 1千克=1000克 |
十一、常用的时间单位有:
世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。
十二、时间单位:(60)
1世纪=100年 | 1年=12个月 |
1年=4个季度 | 1个季度=3个月 |
1个月=3旬 | 大月=31天 |
小月=30天 | 平年二月=28天 |
闰年二月=29天 | 1天=24小时 |
1小时=60分 | 1分=60秒 |
十三、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率;低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。
十四、常用计量单位用字母表示:
千米:km | 米:m | 分米:dm | 厘米:cm | 毫米:mm |
吨:t | 千克:kg | 克:g | 升:l | 毫升:ml |
平面图形
【认识、周长、面积】
一、用直尺把两点连接起来,就得到一条线段;
把线段的一端无限延长,可以得到一条射线;
把线段的两端无限延长,可以得到一条直线。
线段、射线都是直线上的一部分。
线段有两个端点,长度是有限的;射线只有一个端点,直线没有端点,射线和直线都是无限长的。
二、从一点引出两条射线,就组成了一个角。
角的大小与两边叉开的大小有关,与边的长短无关。
角的大小的计量单位是(°)。
三、角的分类:
小于90度的角是锐角;
等于90度的角是直角;
大于90度小于180度的角是钝角;
等于180度的角是平角;等于360度的角是周角。
四、相交成直角的两条直线互相垂直;在同一平面不相交的两条直线互相平行。
五、三角形是由三条线段围成的图形。
围成三角形的每条线段叫做三角形的边,每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
六、三角形按角分,可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
按边分,可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
七、三角形的内角和等于180度。
八、在一个三角形中,任意两边之和大于第三边。
九、在一个三角形中,最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
十、四边形是由四条边围成的图形。
常见的特殊四边形有:平行四边形、长方形、正方形、梯形。
十一、圆是一种曲线图形。
圆上的任意一点到圆心的距离都相等,这个距离就是圆的半径的长。
通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
十二、有一些图形,把它沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这样的图形就是轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
十三、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
十四、物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。
十五、平面图形的面积计算公式推导:
【1】平行四边形面积公式的推导过程?
① 把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
② 长方形的长等于平行四边形的底,长方形的宽等于平行四边形的高,长方形的面积等于平行四边形的面积。
③ 因为:长方形面积=长×宽,所以:平行四边形面积=底×高。即:S=ah。
【2】三角形面积公式的推导过程?
① 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
② 平行四边形的底等于三角形的底,平行四边形的高等于三角形的高,三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
③因为:平行四边形面积=底×高,所以:三角形面积=底×高÷2。即:S=ah÷2。
【3】梯形面积公式的推导过程?
① 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
② 平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和,平行四边形的高等于梯形的高,梯形面积等于平行四边形面积的一半。
③ 因为:平行四边形面积=底×高,所以:梯形面积=(上底+下底)×高÷2。即:S=(a+b)h÷2。
【4】画图说明圆面积公式的推导过程
① 把圆分成若干等份,剪开后,拼成了一个近似的长方形。
② 长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。
③因为:长方形面积=长×宽,所以:圆面积=πr×r=πr²。即:S=πr²。
十六、平面图形的周长和面积计算公式:
长方形周长 =(长+宽)× 2 | C = πd | |
长方形面积 = 长 × 宽 | C = 2πr | |
正方形周长 = 边长 × 4 | r= d÷2 | |
正方形面积 = 边长 × 边长 | r=C ÷2π | |
平行四边形面积 = 底 × 高 | d=2r | |
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 | d=c ÷π |
十七、常用数据:
常用π值 | 常用平方数 | |
2π=6.28 | 12π=37.68 | 1²= 1 |
3π=9.42 | 15π=47.1 | 2²=4 |
4π=12.56 | 16π=50.24 | 3²=9 |
5π=15.70 | 18π=56.52 | 4²=16 |
6π=18.84 | 20π=62.8 | 5²=25 |
7π=21.98 | 25π= 78.5 | 6²=36 |
8π=25.12 | 32π=100.48 | 7²=49 |
9π=28.26 | 2.25π=7.065 | 8²=64 |
10π=31.4 | 6.25π=19.625 | 9²=81 |
立体图形
【认识、表面积、体积】
一、长方体、正方体都有6个面,12条棱,8个顶点。正方体是特殊的长方体。
二、圆柱的特征:一个侧面、两个底面、无数条高。
三、圆锥的特征:一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
四、表面积:立体图形所有面的面积的和,叫做这个立体图形的表面积。
五、体积:物体所占空间的大小叫做物体的体积。容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。
六、圆柱和圆锥三种关系:
① 等底等高:体积1︰3
② 等底等体积:高1︰3
③ 等高等体积:底面积1︰3
七、等底等高的圆柱和圆锥:
① 圆锥体积是圆柱的1/3,
② 圆柱体积是圆锥的3倍,
③ 圆锥体积比圆柱少2/3,
④ 圆柱体积比圆锥多2倍。
八、等底等高的圆柱和圆锥:锥1、差2、柱3、和4。
九、立体图形公式推导:
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形?这个图形的各部分与圆柱有何关系?(圆柱侧面积公式的推导过程)
① 圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
② 长方形的长相当于圆柱的底面周长,长方形的宽相当于圆柱的高。
③ 因为:长方形面积=长×宽,所以:圆柱侧面积=底面周长×高。
④ 圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。
正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时,是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形(近似的)进行推导的,请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系?
① 把圆柱分成若干等份,切开后拼成了一个近似的长方体。
② 长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。
③ 因为:长方体体积=底面积×高,所以:圆柱体积=底面积×高。即:V=Sh。
【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程?
① 找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
② 将圆锥装满沙子,倒入圆柱中,发现三次正好装满,将圆柱里的沙子倒入圆锥中,发现三次正好倒完。
③ 通过实验发现:圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一;圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。即:V=1/3Sh。
十、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式:
名称 | 计算公式 |
长方体棱长总和 | 长方体棱长总和 = (长+宽+高)× 4 |
长方体表面积 | 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 |
长方体体积 | 长方体体积=长×宽×高 |
正方体棱长总和 | 正方体棱长总和=棱长×12 |
正方体表面积 | 正方体表面积=棱长×棱长×6 |
正方体体积 | 正方体体积=棱长×棱长×棱长 |
圆柱体侧面积 | 圆柱体侧面积=底面周长×高 |
圆柱体表面积 | 圆柱体表面积=侧面积+底面积×2 |
圆柱体体积 | 圆柱体体积=底面积×高 |
圆锥体体积 | 圆锥体体积=Sh |
图形与变换
一、变换图形位置的方法有平移、旋转等,在变换位置时,每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移,旋转相同的角度。
二、不改变图形的形状,只改变它的大小时,通常要使每个图形的要素,如长方形的长与宽,三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
三、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合,而不是完全相同。
图形与位置
一、当我们处在实际生活及情景中,面对教短距离时,通常用上、下、前、后来描述具体位置。
二、当我们面对地图、方位图时,通常用东、西、南、北,南偏东、北偏东……来描述方向。
再结合所示比例尺计算出具体距离,把方向与距离结合起来确定位置。
统 计
一、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。
二、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
三、条形统计图的特点:从图中能清楚地看出各种数量的多少,便于比较。
四、折线统计图的特点:不但能看出各种数量的多少,而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
五、扇形统计图的特点:表示各部分和总数之间,以及部分与部分之间的关系。
六、中位数、众数、平均数
名称 | 意义 | 计算方法 |
中位数 | 一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。 | 中间的一个数或中间两个数的和÷2 |
众数 | 一组数中出现次数最多的数。 | 出现次数最多的数 |
平均数 | 反映一组数的总体水平的数据。 | 平均数=总数÷份数 |
可能性
一、
事件状态 | 生活情景 | 数学情景 |
一定会发生 | 太阳从东方升起 | 从5个红球中摸出一个红球 |
一定不会发生 | 鸭子会讲话 | 从5个红球中摸出一个白球 |
可能发生 | 今天会下雨 | 从5个红球,1个白球中摸出一个白球 |
二、在可能性相同的情况下,比赛游戏规则是公平的。
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